数列不等式的证明方法
关键词 等差数列；等比数列；递增数列
1 引言
在大自然中存在着大量的不等关系，数列不等关系又是数学中极为重要一环，在我们数学中起着非常重要的作用，数列不等式是描述我们周围环境中的不等关系的一种数学模型，透过它可以看到事物在一定量上的区别，他与其他知识有紧密的关系，在涉及量的最值和范围的内容中几乎都可以用到它，数学思想方法是数学知识的核心，要利用数学思文的来学好数学思想方法并能处理我们生活中的一些问题.我们在学习数列不等式的解决方法时首先应掌握不等式的同解性质，能让自己在解不等式的步骤中使每一步都和原不等式同解，这样便可避免产生增加根和失去根.通过对不等式的学习，培养学生的对分类研究的能力、化归以及数形结合的思想.我们学习一元二次不等式的解法时最好能采用数形结合的方法，形象了明，容易理解和掌握.可见，研究好数列不等式对我们研究并深入掌握是多么的重要.许多前人已经对数列不等式的证明提出了各种方法，本文就对这些方法进行一些归纳和总结.不等式的方法多种多样，需要进行整理并举一反三，多多思考、多多提问，这样就能更好的掌握不等式证明的方法.26184
2 数列的单调性法证明数列不等式
当所证不等式的某一边是常数时，可以将另一边的通项数列的单调性求出来，然后根据其单调性证明它.如果所证不等式的一边不是常数，可以先将其中的一边转化为等价的常数的形式，再证明转化后的不等式.这样就更好的求解出我们需要的答案.论文网
例1.对任意自然数n，求证：
该题目中，光看题目是无法直接想出一步到位的方法证明的，我们首先将不等式的左边设为 ，然后用 去比 ，就可以得出他们的结果是大于1的，这样就证明出了它的单调性为递增的；这也是证明一个函数单调性常用的方法，当证明出了单调性为递增后，就可以顺利成章的证明出了该数列不等式了.利用不等式的单调性证明数列不等式时，要能看出该数列具有一定的单调性，对该数列不等式有一个大致的评估，当判断正确后，然后才能用此方法，不然会浪费许多不必要的时间，要想做到这一步需要多多接触具有单调性的数列，能够尽快的发现他是单调数列，并且培养数学思文，能够灵活的运用单调性，并把他和数列有效的结合起来.
3 放缩法证明数列不等式
用放缩法证明数列不等式可以说是证明法比较常用的，如当证明A<B成立较困难的话，我们可以借助一个或几个中间的变量通过一定的缩小或放大，以达到证明不等式的目的.放缩法证明不等式的理论依据大致有一下几类：(1)不等式的传递性；(2) 不等量加等量为不等量；(3)分子或分母相同，分母分子不相同的两个分式大小的比较.常用的放缩技巧有：①增加或者舍掉一些项；②在分式中缩小分子和分母或者放大他们；③利用均值不等式进行放缩.
3.1等差数列模型
直接看题目时，根据不等式两边的结构的特点，进而想到关于等差数列求和的公式.我们很容易联想到 这一个公式，现在我们就可以利用这个不等式对题目的不等式进行放缩，最左边以及最右边将不等式的求和公式展开，然后就可以利用公式很快的进行比较.这是一道比较校准的等差数列放缩法的证明题目，他巧妙的利用了求和公式，以及常见的不等关系，使得该题目很容易的就解答出来了.用放缩法证明时，有一点很难掌握，就是究竟发大多少，缩小多少，如果没有足够的数学题目经验，这个度是很难掌握的，例如本题中，最左边等于1+2+…+n,然后根据题目就能将其放缩到n，而不是2n或者其他的，这需要我们多多对这些基本的公式进行思考与研究，并且很好的掌握他们.
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