齐次线性方程组解空间的一道例题探讨
关键词解空间;齐次线性方程组;交;基;生成子空间
在高等代数教材中,每一个例题在相应的教学内容中都起着重要的意义或作用.有些例题的教学内涵非常丰富,本文就文献[1]中第优尔章第优尔节例题2进行一些探讨.
1. 文献[1]中例题及证明 26186
为了讨论叙述方便,这里把该例题用命题形式给出.
命题1 设 分别是数域 上的 矩阵和 矩阵,而 分别是齐次线性方程组 与 在 上的解空间,则 是齐次线性方程组 在 上的解空间,其中
.
证 设 的解空间为 . ,有 .于是,有 且 ,从而, ,即 .故 ;又 有 ,即
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故 且 .于是, .从而, .故 .
由上可知, ,即 是齐次线性方程组 的解空间.
2. 关于命题1的思考
首先,命题1的结论可以推广到多个齐次线性方程组的形式.
命题2 设 都是数域 上 阶的矩阵,而 是齐次线性方程组 的解空间, ,则 就是齐次线性方程组 的解空间,其中
.
证 设 的解空间为 . ,有 ,于是,有 .故 ,即 .从而可知, .
又 有 ,即
,
有 ,即 , .于是, .故 .
由上可知, ,即 就是齐次线性方程组 的解空间.
当 均为非零行矩阵时,就有 , ,于是,齐次线性方程组 的解空间就是 个 文解空间的交.
命题3 设 是数域 上的 矩阵,且 ,则齐次线性方程组 的解空间可以表示成若干个 文解空间的交.
证 设 的解空间为 , 是矩阵 的行向量组.由 可知 , 存在极大无关组,不妨可设 就是它的一个极大无关组.则齐次线性方程组 的解空间就是 文的,设其解空间为 , .由命题2知
,
即 的解空间可以表示成若干个 文解空间的交.
命题3的结论可以进一步推广.
命题4 设 是数域 上的 矩阵,且 ,则齐次线性方程组 的解空间可以表示成若干个 文解空间的交,其中 .
证 设 的解空间为 , 是矩阵 的行向量组.由 可知 存在极大无关组,不妨可设 就是它的一个极大无关组.令
,
其中 ,则齐次线性方程组 的解空间,不妨设为 就是 文的,且由命题2知
,
即 的解空间可以表示成若干个 文解空间的交.
3.关于命题1的进一步推广
数域 上齐次线性方程组的解空间就是线性空间 的子空间,而 的任一子空间都可以看成是某个齐次线性方程组的解空间,所以,齐次线性方程组的解空间问题就是 的子空间问题.由于数域 上任一 文线性空间都与线性空间 同构,因而上面讨论的结论都可以推广到数域 上一般的 文线性空间中去.
命题5 设 是数域 上的 文线性空间, 是 的子空间,且 ,则 可以表示成 的若干个 文子空间的交.
证 由 ,存在 的一个基 ,并可扩充成 的基
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