柯西准则的等价命题探究
关键词 柯西准则；函数；级数；等价
一、引言
柯西准则是数学分析中非常重要的定理,而且在其他数学分支中也有着广泛的应用.华东师范大学数学系编著的《数学分析》[1]教材在实数的完备性这一章中已指出数列的柯西准则、实数集的确界原理、数列的单调有界定理、区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理这优尔个基本定理的等价性.已出版的一些参考书和已发表的一些期刊文献[2]-[4]采用循环回路的方式,给出其等价性的证明,本文不再复述.文献[5]中作者给出界点定理与实数完备性的优尔个基本定理等价的证明. 26860
本文将探究柯西准则的等价命题,并给出其证明. 毕业论文
二、等价命题的探索
命题1[1]（数列的柯西准则）数列 收敛的必要充分条件是:对任给 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
.
在文献[6]中，作者证明了与柯西准则等价的命题:
数列 有极限的充分必要条件是:对任给 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
.
受这个结果的启发，我们可以证明柯西准则与下面的定理1等价.
定理1 数列 有极限的充分必要条件是:存在正整数 ,对任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
.
证 必要性 设数列 的极限存在,则根据柯西准则可知,存在正整数 ,对任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
,因此 充分性 存在正整数 ,对于任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
.
令 ,则 下面先推导不等式
成立.
设 为任意给定正整数,且令 ,由不等式 有
且 .
由 、 不能确定 是否成立,若成立,则不等式
成立,否则有
.
此时由不等式 推出
,
依据不等式 有
.
令不等式 中 , ,得到
.
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