一类函数微分中值定理及其逆定理的研究
毕业论文关键词 微分中值定理；中值点；渐近性；逆定理.
Abstract: This article gives the mean value theorem of differentials based on a kind of function and discusses the asymoptic property of the intermediate point when x are near infinite and zero, studying the inverse theorem for the further step.
Key words: mean value theorem of differentials; intermediate point; asymoptic property;the inverse theorem.
1. 引言
作为近代微分学的核心内容，微分中值定理的地位日益突出，学者对于其研究热情也愈加高涨.在中值定理的研究中，主要涉及定理的应用价值、中值点的渐进性、逆定理即渐进性等相关内容. 文[1]在区间两个端点无限逼近其内某一固定点时，将中值点变化规律普遍化；文[4]以文[2]和文[3]为基石，总结了中值点在 时渐进性的条件和结论，延伸出更一般的结果；文[5]突破利用辅助函数的传统方法，给出中值点渐进性的新证法；文[6]研究了弱条件下区间无限长时中值点的渐进性；文[7]前人研究的基础上，放宽条件，总结出区间无限长时L-中值定理中值点渐进性的一般结论，并延展至积分的相应性质；文[8]至[11]则主要研究了一阶和高阶的不同微分中值定理反问题成立的条件.本文先给出某一类特定函数，建立相应的微分中值定理，再研究其中值点在区间长度及所给条件不同的情况下的渐进估计式，最后对反问题成立的条件加以探索和研究.32024
定理1 若函数 在 上可导，则存在 ，使得
， （1）
其中 为参数，且 .
证明：令 ， 与 在 上连续，在 内可导，故 ，使
又
从而
因此命题得证.
由上探究可得， 是按一定规律变化而存在的.下面的任务便是研究满足(1)式的 究竟以什么规律变化，以定理1为前提条件的相关反问题是否存在？存在的条件是什么？接着我们会在具体条件下依次讨论这些问题.（注：全文如若没有特意标注，则默认 同上.）
2. 时 的渐近性
定理2 在定理1的条件下，若函数 在 上 阶可导，导函数连续并且 ， ，满足（1）式的 在 时有渐进估计式
证明：构造函数
① 证 .
由罗必达法则
令 ，
② 考察极限 .
由罗必达法则：
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