有限域的结构和性质+文献综述
毕业论文关键词: 有限域；循环群；分裂域; 素域;多项式
The Structure and Properties of Finite Fields
Abstract: This paper mainly through the introduction of the elements of a finite field and the characteristics of finite field and finite field subdomains to depict the structure of the finite field, at last, and how to construct finite field method.And then through the relationship between the limited domain and subdomains and finite field to explore the relationship between the nature of the finite field,Also discuss some properties of polynomials over finite field, thus draws the finite field with arbitrary high order irreducible polynomials also reveals finite field is its prime field single domain.
Key word: Galois fields; Cyclical group; Galois closure;Prime fields；Polynomial
目 录
摘 要 1
引言 2
1. 预备知识 3
2. 有限域的结构 4
2.1有限域的结构定理 5
2.2构造有限域的具体方法 7
3. 有限域的性质 7
4.有限域的简单应用 15
参考文献 17
致谢 18
有限域的结构和性质 引言
有限域理论是现代代数学的分支,从十七,十八世纪开始,人们就开始研究有限域,例如一些著名大数学家费马、欧拉、勒让德等人对有限域上一般理论的研究作了重要的贡献；高斯等人对素域的理论研究更是推动了有限域的发展:而数学家伽罗瓦对有限域的研究工作做了开创性,19 世纪上半叶,他发表了“论数论”一文,在文中他指出在素数域 的基础上,全部有限域都可以通过域扩张得出.就是说：任意有限域 一定包含某素数 的方幂 个元素,而且本质上 元有限域只有一个.因此为了表示纪念伽罗瓦,人们也将有限域称为Galois 域.,从此以后,有限域的理论逐渐成熟起来.有限域在计算机科学和数字通讯等领域中有着广泛的应用,是它们的基本数学工具.因此有限域的知识引起了许多学科专家、学者的广泛关注,不断有大量创新性的研究成果涌现,促进了有限域的理论研究和技术应用.有限域的结构和性质是构成有限域的基础,因为包含有限域的各种基本理论和构造有限域的方法.有限域上的结构与性质对于有限域的的研究具有非常重要的意义,因为有限域的结构和性质对研究近世代数的代数结构起着重要的作用。
文献[1]和文献[2]中对有限域的结构着重进行了讨论，主要讲有限域的构造及有限域的元素性质以及有限域的子域结构.文献[3]主要讲有限域的一些性质。文献[4]和[5]主要讲述对任意正整数 ，在有限域上都有 次的不可约多项式存在。文献[6]主要介绍有限域元素性质定理的逆也正确，即如果一域 的乘群 为循环群，则 是一个有限群，而且本文对着定理进行推广。文献[8]主要介绍有限域上的代数闭域的性质.文献[10]主要介绍有限域中乘法群的一个性质。这些文献总体清晰的介绍有限域的结构和性质。
本文主要在上述文献的基础上。对有限域的结构定理和对有限域的基本性质进行归纳，主要通过介绍有限域的元素和有限域的特征以及有限域的子域，描述有限域的结构,最后还给出如何去构造有限域.然后再通过有限域之间的关系以及子域和有限域的关系去探讨有限域的性质,还讨论有限域上多项式的一些性质，从而得出有限域上有任意高次的不可约多项式.还揭示有限域是其素域的单扩域.这些定理和结论对有限域的学习有很好的帮助。
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