Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(4)
5、Monte-Carlo 模拟：该方法利用计算机模拟标的资产价格的随机运动和对应的期权收益, 并将这一收益按无风险利率进行贴现, 由大量的随机样本得到的贴现后收益的算术平均值就是这一期权的估计值. 但这种方法速度较慢, 而且不能处理具有提前执行特征的期权.
期权定价方法具有广泛的应用价值, 已被应用于包括股票、公司债券、期货、可变利率抵押、保险、投资在内的金融证券和合同的广阔领域. 期权定价理论已成为我们理解金融合同的重要因素和普及应用的使用工具.
1. 4 本文主要结构
第一章本文有五章, 分为三部分：
第二章为第一部分, 是本文的引论. 主要介绍了期权定价理论研究背景和意义, 以及近代研究发展现状.
第二章为第二部分, 主要介绍了期权定价的一些基本概念和性质, 为后面的三章提供了理论基础.
其余三章为本文的重点, 主要介绍了针对欧式看涨期权Black-Scholes方程的推导过程, 以及使用同伦摄动分析推导其近似解析解, 并利用蒙特卡罗模拟股票价格, 在市场上进行应用.
1. 5 假设与符号
为了便于本文讨论, 我们做出如下假设:
(1)市场是无套利的市场;
(2)市场中没有交易费用;
(3)所有交易利润具有相同的税率;
同时我们定义以下各字母的含义:
S:股票现价; :在T时刻股票的价格;
X:期权的行权价格;
T:期权的到期日;
t:现在时刻;
f:衍生证券价格
r:在T时刻到期的投资的无风险利率;
c:购买一股股票的欧式看涨期权的价格;
p:出售一股股票的欧式看涨期权的价格;
:股票价格的波动率.
二. 预备知识
2. 1 期权定价的早期发展
继资产组合理论、资本资产定价模型之后企业权定价理论是金融领域又一个获得诺贝尔经济学奖的重要理论.1973年, Black和Scholes发表了《期权和公司债务的定价》(The pricing of options and corporate liabilities)一文, 提出了著名的期权定价理论, 同年, Merton给出了以支付连续红利率股票为标的资产的期权定价公式, 并把Black-Scholes期权定价公式推广到无风险利率和标的资产价格的变异性不是常数的重要情况.
期权是赋予了其拥有者在未来的某时间以事先预定好的价格买卖某种金融资产的权利的合约, 从广义上讲, 期权也可以指金融资产中含有的任何选择权. 一般称期权中规定的金融资产为期权为标的资产, 并称对标的资产的商定价格为行权价格.
根据交易的买卖类型, 可以将期权分为看涨期权和看跌期权. 看涨期权是指在指定日期以行权价格买入一定量的金融资产的合约. 看跌期权是指可以在指定日期以行权价格卖出一定量的金融资产的合约. 期权中指定的日期成为到期日. 当投资者认为某种金融资产的价格要上涨时, 就可以购买这种金融资产的看涨期权, 或者出售这种金融资产的看跌期权. 相反, 如果认为某种金融资产的价格要下跌, 则可以采取相反的操作.
按期权允许的行权时间划分, 期权可分为欧式期权和美式期权. 欧式期权是指期权的行权日期是事先指定的期权; 美式期权是指可以在到期日之前的任何日期行权的期权. 在交易所交易的大部分期权是美式期权. 但是, 欧式期权通常比美式期权更容
易分析, 并且美式期权的一些性质总是可以从欧式期权的性质推导出来.
根据行权价格与标的资产市场价格的关系, 可将期权分为实值期权、虚值期权和评价期权三种类型. 对看涨期权而言, 若标的资产高于行权价格, 期权的买方执行期权将有利可图, 此时为实值期权. 若标的资产价格低于行权价格, 期权的买方将放弃执行期权, 此时为虚值期权. 对看跌期权而言, 标的资产价格低于行权价格为实值期权; 标的资产价格高于行权价格为虚值期权. 若标的资产价格等于行权价格, 则看涨期权和看跌期权均为平价期权.