Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(7)
2.2.2 一般文纳过程
变量 服从一般文纳过程的定义如下:
(2.2.1)
其中 , 为常数, 是一般文纳过程的预期漂移率, 是波动率.
式(2.2.1)由两项组成,如果不考虑 ,则有 或
其中 为 在0时刻的值,经过 时刻后, 的增加值为
如果仅考虑 ,则
可以看做是附加在变量 轨迹上的噪声或者波动,这些噪声或波动是文纳过程的 倍.
将 和 一并来考虑,则有
经过时间增量 之后, 的增量值为
(2.2.2)
如前所述, 是取自标准正态分布中的随机抽样值,因此 服从正态分布,其均值为 ,方差为 ,标准差为
类似以上讨论,我们可以得出任意时间 后, 值的变化也服从均值是 方差为 标准差为 的正态分布.
2.2.3 伊藤过程和伊藤引理
如果上面随机过程中的 与 是 和 的函数,则可以得到伊藤过程
(2.2.3)
伊藤过程中的预测漂移率和波动率随时间变化.
定理2.2.1(伊藤引理) 假设变量 服从伊藤过程
其中 是文纳过程. 设 是 的二次连续可微函数,则 遵从如下过程：
(2.2.4)
证明 由二元函数的泰勒展开公式有
(2.2.5)
因为
(2.2.6)
由此有结果
(2.2.7)
(2.2.8)
将式(2.2.6),(2.2.7)和(2.2.8)代入式(2.2.5),
得
由于标准正态分布的方差为1. 0. 这意着:
其中 表示期望值.
由于 ,所以 . 因此 的期望值为 . 同样 的方差的阶数为 ,因此,当 趋向于零时, 变为非随机项, 并且当 趋向于零时等于 .
令 ,得
(2.2.9)
再将 代入式(2.2.9),得
证毕.
由伊藤定理可知,如果 服从伊藤过程,则 的函数 也遵从伊藤过程,不过漂移率和波动率分别为 和
2.2.4 不支付红利股票价格的行为模型
如果假设股票价格服从一般文纳过程,则有不变的期望漂移率和波动率, 这不符合实际. 所以,一般假设价格变化的比例 服从一般文纳过程,即
因此,股票价格 可用漂移率 和波动率 的伊藤过程来描述, 即
(2.2.10)
其离散形式为 (2.2.11)
如果 和 为常数,则称式(2.2.10)为几何布朗运动. 几何布朗运动是最广泛的描绘股票价格行为的模型.
如果 服从伊藤过程,则 和 的函数 也服从伊藤过程,
(2.2.12)
注意, 和 都受 的影响.
我们定义 因为 则式(2.2.12)简化为
(2.2.13)
因为 和 为常数,故式(2.2.13)也是文纳过程,其漂移率是 ,波动率是
因此, 在 与 时刻之间的变化服从正态分布,其期望值为 方差为 这意着
或者 (2.2.14)
式中 表示期望值为 方差为 的正态分布.
式(2.2.14)显示, 服从正态分布. 如果一个变量的对数服从正态分布,则该变量称为服从对数正态分布.
2. 3 Black-Scholes期权定价理论
2.3.1 Black-Scholes偏微分方程
Black-Scholes微分方程是不支付红利股票的衍生证券价格必须满足的方程. 它是建立在如下假设基础上的:
(1)股票价格遵循几何布朗运动;
(2)允许卖空衍生证券;
(3)没有交易费用或税收,
(4)在衍生证券有效期内,标的资产(股票)没有红利支付;
(5)不存在无风险套利机会;
(6)证券交易是连续的;
(7)无风险利率 是常数且对所有到期日都相同.
根据假设(1),有结果; (2.3.1)
式中 是一个文纳过程, 为股票价格的预期收益率, 为股票价格的波动率.