矩阵的等价合同相似与矩阵的分解的理论与应用分析
毕业论文关键词：等价；合同；相似；分解；应用
The Theoretical and Applicable Analysis of Equivalence, Congruence and Similarity Between Matrices and Matrix Decomposition
Abstract: Three kinds of common used relationships between any two matrices, equivalence, congruence and similarity, and matrix decomposition are summarized in this paper from both theoretical and applicable aspects. Based on the basic concept of the relationships between matrices, this paper introduces the related theory of matrices, and mainly presents a necessary and sufficient condition, sufficient conditions and necessary condition for the establishment of the specific relationship. The paper also summarizes the differences and relationships among these three concepts. On the basis of these discussions, it is proved that the establishment of the matrix decomposition, also called the matrix factorization, which reflects the method of matrix decomposition. The practical applications of the matrix decomposition are also given to enrich the theory.
Key words: Equivalence; Congruence; Similarity; Matrix Decomposition; Application
目 录
摘 要. 1
引言 2
1.矩阵的等价、合同、相似关系 3
1.1矩阵的等价关系 3
1.2矩阵的合同关系 4
1.3矩阵的相似关系 5
1.4矩阵等价、合同、相似之间的关系 7
2.矩阵的分解 8
2.1 矩阵的乘式分解 8
2.1 矩阵的和式分解 15
2.3 矩阵分解的应用分析 16
参考文献 20
致谢 21
矩阵的等价、合同、相似与矩阵的分解的理论与应用分析
引言
矩阵的等价、合同、相似这三种关系在《高等代数》的学习中有重要作用, 我们不仅要了解其定义、性质等, 课本在向量等价的背景下提出了矩阵的等价关系, 在二次型的非退化的线性替换的背景下提出了矩阵的合同关系, 在 矩阵的背景下提出矩阵的相似. 矩阵的分解虽然没在高等代数书中所介绍, 但是在某些方面有所涉及,若 正定, 则存在可逆矩阵 使得 , 矩阵的分解在解线性方程组,求特征值、特征向量等提供了可观的方法.
张李盈在发表的矩阵的等价、相似、合同一文中[3], 就矩阵的等价、相似、合同的本质意义与充要条件进行了分析, 从关系的强弱、不变量、可相互转化的条件等方面研究了矩阵的三个关系之间的区别. 贾周在矩阵的等价标准型应用中[6]分析了矩阵等价的相关定理, 举例说明了矩阵等价的应用.刘嘉在发表的矩阵相似及其应用一文中[10], 从行列式因子、初等因子的方面证明了矩阵相似的相关定理. 从矩阵的对角化, 最小多项式等介绍了矩阵相似应用. 左飞在发表的浅谈矩阵的分解一文中[12]从矩阵的和式分解和乘式分解两个方面给出了矩阵的分解以及证明.
在本文中, 我分别从理论证明和具体应用两个方面总结和分析了矩阵的三种关系和矩阵的分解. 对矩阵的等价、合同、相似的相关定理, 从定义、定理、不变量、从属关系等分析它们的区别与联系. 对矩阵的和式、乘式分解进行总结并进行理论分析, 作出具体例子说明矩阵的等价、合同、相似与矩阵的分解的应用.
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