辛钦大数定律在生活中的应用(2)
1.1.1 伯努利大数定理——大数定理的创立
雅各布•伯努利（Bernoulli Jakob,1654~1705,瑞士）的著作《猜度术》为概率论奠定了坚实的基础,并且为后来的对于概率论的探究做出了难以估计的贡献.其中在对于变分法、微积分、微分方程的探究中所包含的思想精华具有跨越时代的价值与理论意义.而在该书中,伯努利大数定律是《猜度术》的精粹,在今天,我们对伯努利大数定律理解为:在n次随机实验中频率 依概率收敛于概率p,用数学语言描述:即对于任意的 ,有 成立.在雅布所在的时代,他对于大数定律的描述为“所要探讨的是,是否会随着观测次数的增加,使得我们所记录下来的赞成与不赞成次数的比值接近真实比值的概率也会随之不断增加, 最终使得这个趋近真实比值的概率，将超过任意的确信度.”
那么对于某一事件结果的频率的不稳定性是否会随着我们所做实验的次数的增加而减少呢?雅各布对于这个问题的回答是肯定的,这凭借我们天生的直觉也能理解.但是对于这个定律的科学证明却没有头绪，不过雅各布却用数学模型的方法提出问题,并给于证明,这个模型就是“缶子模型”: 设有 个黑球, 个白球在缶内,随机地抽取一个球为白球的概率为 ,那么可以找到充分大的 ,对于给定的常数 ,令 ,然后当我们在缶内,进行 次有放回的抽球时,就有 成立.
为了能更加形象说明我们所做的实验结论，雅各布又给出了一个例子来说明,他假设 20, 30,这样我们所观察的结果30/50就是该实验中“取得白球”的概率.这在实验结果中就可以算出,那么处于29/50~31/50 之间的概率, 也即是在实验结果中取得白球的次数与实验总次数的比的概率.当我们的实验次数发生变化时,即当 取10000时, 31258,计算的概率值为0.9999;当 取100000 时, 36966,计算的概率值为0.99999; 当 取1000 时, 25550,计算的概率值为0.999. 对于概率的估计值雅各布做的还是较为精细的.
1.1.2 泊松大数定理
泊松(Poisson,Sim¨¦on- Denis,1781~1840,法)以1817到1826年之间的法国的新生婴儿的性别比,第一次对于大数定律有了确切的描述,即当我们观察在大量的随机现象中,它们或者有着相同的属性,或者有着相互关联的变化,或者有不变的因素而发生的事件数目之间比值基本上是不变的,而且让人兴奋的是:这些所得实验结果的比值波动的幅度,会随着我们试验次数的增加而逐渐减小.泊松把所得实验结论应用于物理、社会以及生物等的学科问题中.为了能更加形象具体的进一步说明这一定律,他举了其他的比较贴近生活的例子,比如平均寿命、海平面的均值、分子间的平均距离、随机摸球、掷硬币、男孩出生率、每年犯罪案件的判刑率、平均税收等,其中以随机摸球、掷硬币和男孩的出生率这3种统计模型,来阐释其大数定律.
泊松揭示伯努利大数定律与泊松大数定律的区别是非常明显的,对于复杂的自然与道德问题的解决,泊松大数定律还是比较使用的，因为它准许原因概率的连续变化.他坚信如果想要发现频率的稳定性，必须要有足够的耐心和对于不怕艰难的精神去探索,这样世间万物的各种现象都可以用大数定律在解释.
1.1.3 切比雪夫大数定理
第一个给出了泊松大数定律和伯努利大数定律的确切证明的人正是切比雪夫（1821~1894,俄）.《试论概率论的基础分析》是切比雪夫在1844 年发表的硕士论文.对于伯努利大数定律的比较严格的证明就是切比雪夫的这篇论文中给出的,而他所得的结论也被应用在了泊松大数定律. 切比雪夫大数定律是在他的另一篇论文中得出的，这篇论文就是他在1866年发表的《论均值》.他的论文中是这样描述的:“假如量 与它们的平方 的数学期望不大于给定的数值,那么 个量的算术平均值和它们的数学期望的算术平均值的差不小于某个给定的概率,并且当 趋于无穷大时,其值趋于1.”在现在我们可以用数学语言描述为:设有方差一致有界的随机变量序列 且他们是两两不相关的,那么对于任意的 ,有 成立,其中 .
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