微分方程中积分因子的求法探究
毕业论文关键词：积分因子;常微分方程;常微分方程组;恰当方程
Study on the method of integral factor in differential equation
Abstract:This paper studies the integral factor of ordinary differential equation and system of ordinary differential equation,first gives the exact equation about integratingfactor of necessary and sufficient conditions of x and y, on the basis of justifying the some special types of differential equations of integral factor and the method of proof; Finally, in view of the ordinary differential equations is given the method of calculatgthe integral factor.
Key words:Integrating factor;ordinary differential equation;system of ordinary differential equations;exact equation
目 录
摘 要 1
引言 2
1.基本理论 3
2.常微分方程的积分因子 4
2.1定理及其证明 4
2.2例题解析 7
3.常微分方程组的积分因子 9
参考文献 12
致谢 13
微分方程中积分因子的求法探究
引言
常微分方程在数学乃至分析学中占据着重要的地位,微分方程不仅是学习高等数学、分析学的重点和难点,而且在反映客观事物中量与量之间的关系时,往往需要建立具有微分方程关系式的数学模型,这就要求我们熟练的掌握并应用微分方程的求解方法,以便于通过微分方程来了解模型函数的性质,帮助建立和完善模型,可以说微分方程已经不再是教科书上死板的内容了,它已经成为能解决实际问题的重要工具,广泛的应用于生活中多个方面.对于恰当微分方程我们可以通过公式法求出它的通解,并不是所有的微分方程都是恰当微分方程,对于求解非恰当微分方程,非常的繁琐和复杂,然而积分因子的引入,使其求解变得简单化,所以积分因子在求解常微分方程中具有很大的意义,可以使解题更简单,更清晰.
对于积分因子已有许多人做了研究,而且关于积因子的文献也很多,文献[1]详细介绍了常微分方程中几类积分因子的求法及应用.文献[2]给出了常微分方程组的定义,并证明了自治与非自治常微分方程组的积分因子的充要条件,并给出了常微分方程组向量场散度构造积分因子的方法.文献[4]主要介绍了积分因子在实际例子中的应用.
本文通过对常微分方程及其常微分方程组积分因子的求法做了研究,首先给出了积分因子的定义和定理,通过延伸给出了几种类型的常微分方程求解积分因子的定理及其证明,然后给出具体例子,对积分因子求解进行巩固和加深,最后给出了常微分方程组的定义和常微分方程组散度的求法以及积分因子的求法,并用例题练习.
1.基本理论
定义 若方程
(1)
的左端恰好是二元函数 的全微分,则称此方程为恰当方程.
定义 若存在连续可微的函数 ,使得
为恰当方程,则称 为方程(1)的积分因子.
引理1 函数 为(1)式的积分因子的充要条件是 ,即
定义 方程组
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