分数阶超混沌系统的函数级联同步算法研究(2)
在 和 共同提出了混沌同步理论且实验证明之后[8]，人们开始对混沌产生了兴趣。此后，多种同步类型和控制同步的方法被相继提出（如：自适应控制[9]，滑模控制[10]等）。随着时代的发展，混沌研究的逐渐深入，混沌研究不仅仅限于在物理学领域，它也逐渐发展到了其他各种领域中，为其他领域带来了很大的便利。它不仅仅推动了其他的领域的发展，同时也与其他的领域学科相结合，更让人们对混沌有了更深入的了解。目前，混沌的渗透领域繁多，几乎在任何学科领域中都存在混沌的影子，如：信息学，生物学，电子学，地质学，宇宙学......甚至在美术，音乐，经济学等方面都应用广泛。
1.1.2 混沌的定义及其特征
迄今国内外对混沌系统的定义有很多，大致有下面几种：Melnikov、Li-Yorke、Famer混沌定义等等，这些混沌定义较为常见。在本文中给出的是Li-Yorke混沌定义。
Li-Yorke混沌定义[11]的具体表述如下：
定义一个连续的，单参数的，自身的映射的区间[α，β]，它的表示方式为：
它的点映射形式为：
Li-Yorke混沌定义：连续映射或点映射 是混沌的，当
（1）有一切周期的周期点；
（2）有不可数的子集 ， 不含有周期点，使得
该定义中的前两个极限表明了上述条件中的子集内的点 既是离散却又是集中的，最后一个极限是说明这个子集是不可能去逼近任意的点。
李天岩和Yorke给出了混沌定义的同时还给出了Logistic映射函数：
发现当 时，能够出现混沌现象。
以上能够通过 定义归纳出混沌系统的三个主要的特征：
（1）有任意阶的周期轨道；
（2）混沌轨道的极度不稳定性；
（3）可以找到一个非可数的集合，在其内只有混沌轨迹，同时任何两个轨迹的距离不会越来越远，也不会逐渐靠近，这2种情况会不断地替换；在这个集合里不会存在逐渐接近的周期轨道，也就是任意一个轨道不会趋于另外任意一个周期轨道。
提起混沌人们常常会想到“蝴蝶效应”，它反应了系统初始值的极度敏感性，这是混沌最基本的一个特点。混沌系统相对于其他的复杂现象而言，是异常独特的，它有很多独特的特征如：有界性、遍历性等等。
1.2 分数阶混沌系统的发展及意义
自从分数阶混沌融入到动力学系统之后，分数阶动力系统的混沌控制以及混沌同步变成了目前科研领域的热门话题。随着分数微分学应用到物理学、工程学[12,13]领域中，人们对于混沌的认识又上了一个新的高度。分数阶微积分把它的阶数拓广到了分数（以至于扩展到了复数），人们逐渐认识到用分数阶去描绘会更加精准，这也促进了分数阶混沌的发展[14]。
随着信息科技的逐渐发展，网络技术的快速提高，人们对于自己信息的隐私性的逐渐重视，网络安全问题逐渐被人们所关注，如何对信息进行加密也成为了国内外研究的一个热门的课题。利用混沌的特征对信息进行加密，相较于一般的信息加密技术，它的保密性会更高。但是对于目前利用混沌特性进行通信保密工作而言，大部分都是用整数阶，而分数阶混沌系统相对于整数阶在保密性上会更高并且破解来会更加困难，所以利用它来进行信息加密的意义更加重大。
对比于整数阶的混沌系统，分数阶的复杂性会更高，所以应用也更加多，更加的广泛。迄今为止人们对于分数阶混沌系统的投影同步[15,16]、反同步[17]等多种同步类型已经进行了一系列的探究，但是对于分数阶超混沌级联同步这一方面仍未涉猎，还是一片空白。从而基于上述分析我们可以知道对分数阶的研究重要性，因此本文将着重讨论分数阶超混沌系统的函数级联同步。
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