第一类Stirling数的推广
毕业论文关键词 广义第一类Stirling数；广义第一类无符号Stirling数；生成函数；分划
1 引言及预备知识
Stirling数一直以来都是人们研究的热点课题，并有大量研究成果[4-13]，它在组合数学、数论、计算数学等多领域占有重要地位，有着广泛的应用.本文主要根据生成函数和组合意义对第一类 Stirling 数进行了推广，得到了广义第一类Stirling数及广义第一类无符号Stirling数，并对相关性质进行了证明.
下面给出有关定义：
定义1[1] 第一类Stirling数 由下列展开式给出
. (1.1)
第一类Stirling数 的指数生成函数由下列展开式给出
. (1.2)
定义2[2] 把含有 个元素的集合恰好分解成 个非空子集，并且在每个子集中的元素是排在一个圆周上的分划数目就叫做第一类无符号Stirling数，记为 .
对第一类无符号Stirling数 有如下结果[3]：
, ,
. (1.3)
2 从生成函数角度推广第一类Stirling数
推广1 广义第一类Stirling数 （其中， 、 均为非负整数， , ）由下列展开式给出
. (2.1)
当 时， 简记为 ，当 ，且 时， 即为经典的第一类Stirling数，简记为 ，由(2.1)式有
,
,
.
定理2.1
=
+ ， (2.2)
其中 .
证明 由(2.1)式有
=
=
=
=
+
=
+ . (2.3)
比较(2.3)式两边 的系数，即可得到(2.2)式.
在(2.2)式中令
，
可得到
推论2.1[3] .
定理2.2
=
+
+ ， (2.4)
其中 .
证明 由(2.1)式有
两边对 求导有
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