方差分析模型中参数的经验Bayes估计的稳健性分析(3)
另 ，此处 为N文观察向量； 为S文向量； 为 阶单位阵； 表示Kronecker乘积； 为 文误差向量，其为
，假定
(1.8)
， 为第 个水平的效应， 为总平均；满足条件 为
(1.9)
由上述模型求 和 的LS解为
此处
在模型(1.7)中假定 有先验分布，且满足
. (1.12)
二、平衡的单向分类模型Bayes估计和经验Bayes估计
2.1 Bayes估计的基本概念
设 是总体分布 中的参数，为了估计该参数，可从该总体随机抽取一个样本 ，同时依据 的先验信息选择一个先验分布 ，用贝叶斯公式算得后验分布 .
定义2.1.1 使后验密度 达到最大的值 称为 最大后验估计；后验分布的中位数 称为 的后验中位数估计；后验分布的期望值 称为 的后验期望估计.这三个估计都称为 的贝叶斯估计，也可统一记为 .
定义2.1.2 设参数 的后验分布为 ，贝叶斯估计为 ，则 的后验期望 称为 的后验均方误差，其平方根 称为 的后验标准误差，其中符号 表示用条件分布 求期望，当 为 的后验期望 时，则
称为后验方差，其平方根 称为后验标准差.
2.2经验Bayes估计
假设我们有数据 与当前数据 ，其中样本的可 , 是可观测的， ， 是分布中的未知参数.
经验Bayes估计的基本任务当然就是要找到一个依赖于 ， 的函数 来估计 .并使得估计 接近 已知的Bayes估计.该样本的密度函数为 ， 的先验分布密度函数 ，则 的边缘密度为：
(0)
经验Bayes估计方法认为：随机样本是从边缘密度函数为 中抽取的，因此可以由 估计 或其特征，假设样本密度函数已知 ，则
可由 (0)式估计 或其特征，再由样本 去获取 的EB估计.
定义2.2.1 任何同时依赖于样本 和当前样本X的判决函数 称为经验贝叶斯判决函数.
当 已知时， 的Bayes风险为：
由于上式得到 的全面Bayes风险：
定义2.2.2 如果一串经验判决函数 ，对任意 ,F是先验分布族