矩阵复原问题的可解性研究(2)
矩阵的Frobenious范数 任意 ，称
为矩阵A的Frobenious范数，
.
（1）1-范数 我们称
，
为矩阵A的列和范数.
（2）2-范数 有
，
表示矩阵 的第j个特征值.将之称之为为矩阵的谱范数.
（3） -范数 我们称
， ，
为矩阵A的行和范数.
表示将 按照绝对值的大小从大到小重新排列之后的向量.
对于一个矢量 ，我们用 来定义它的矢量q范数.
对于 ， .
1.3矩阵还原基本模型
低秩矩阵复原的基本模型可以写成
（1.1） ，
其中 是一个线性映射, 是一个未知的低秩矩阵，z是一个噪声项.我们的目标是基于测量值 来复原低秩矩阵A.线性映射X可以由n个P1×P2测量矩阵X1，...,Xn等效为
（1.2） ，
其中两个同文矩阵的内积被定义为 .由于 ，（1.1）也被称为跟踪回归.
低秩矩阵的复原考虑的是如何从比较大的但是稀疏的误差当中恢复出本质上是低秩的矩阵.在很多的实际应用中，已经给定出来的矩阵A一般情况下会是低秩的或者是近似低秩的，但是会存在着分布稀疏的，且存在着误差的情况破坏了原数据的低秩性.为恢复矩阵A的低秩性，我们会将矩阵A分解成两个未知矩阵的和，其中一个矩阵是低秩的，那么当另一个矩阵的元素服从独立同分布的高斯分布时，便可用经典的主成分分析来得到低秩矩阵进而求得原矩阵.
本论文中提到的一种常见的实现低秩矩阵复原的方法是约束核范数最小化的方法，是通过
(1.3) .
来估计A.其中， 是矩阵X核范数，被定义为奇异值的总和，Z是由有噪结构确定的有界集.例如，Z ={0}在无噪声的情况下，Z是在有界噪声情况下是可行的集.这种约束核范数最小化的方法已经得到很好的研究[5,6,14].
低秩矩阵复原的两个随机设计模型在文献中都有很好的研究.一种是所谓的“高斯系综”，其中测量矩阵X1, . . . , Xn 是独立同分布高斯条目的随机矩阵.通过开发低文度结构，为确保稳定的复原，线性测量的数目可以是远远小于在矩阵中的条目数.它已经表明 时秩为r的矩阵A通过核范数最小化来实现稳定的复原有很大的可行性.高斯系综设计的一个主要缺点是， 需要有 的存储空间，才可确保为大型矩阵复原提供足够大的空间.例如，为确保秩为10的10000×10000矩阵的精确重建至少要提供45TB的空间来存储测量矩阵Mi .另一种著名的设计是“矩阵完成”模型[9,15]，该矩阵下的各个条目是在一个随机选择的位置上设置的.按照测量矩阵Xi在（1.2）的值，这可以解释为
(1.4) .
其中， 是标准的基础矢量， 和 分别用{1,... ,p1}和{1,... ,p2}随机、均匀地绘制来替换的.然而额外结构的假设，是不直观且难以检查的，而这些对于未知矩阵A在完成矩阵模型下的稳定复原是有必要的.例如，这在矩阵复原模型下是不可能实现金字塔型矩阵的复原的.这很容易从矩阵A只有一个非零行中看出.在这种情况下，虽然矩阵是秩一矩阵，但在矩阵完成模型下是不可复原的除非非零行的所有元素都是可观察的.
在本文中，我们关于低秩矩阵复原介绍了“秩一投影”（ROP）模型，并为这模型提出约束核范数最小化的方法.在ROP模型中，我们遵循
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