更新过程交替更新过程模拟实现及其性质的数值分析(2)
1.2 国内外研究现状
2 随机过程的基本概念
20世纪初，“Markov性”概念形成以后，概率论的研究对象从一族相互独立的随机变量开始拓展到具有某种向异性的随机变量族，并在概率论中逐渐形成一个全新的研究领域—随机过程论。因此，随机过程也被认为是概率论的“动力学”部分，意思就是它的研究对象是随时间演变的随机现象。时至今日，它在理论上已然建立了一个庞大的体系：而在应用上，更是已经渗透到了工程技术，控制理论，各种预报方法、公共事业中的数学方法等科技和国民经济的许多领域。
下面只介绍随机过程中的基本概念。
2.1 随机过程的概念与举例
定义1.1.1 设（Ω，F，P）为概率空间，（E,ε）为可测空间，Ｔ∈Ｒ，若∀ｔ∈Ｔ，x_t：Ω→Ｅ，且ｔ给定时，x_t关于Ｆ可测，则称｛x_tt∈T｝为（Ω，F，P）上取值于Ｅ的随机过程,简称｛X_tt∈T｝为随机过程，记X_t=X(t),或X_t (ω)=X(t, ω)。
此时，称（E,ε）为相空间或状态空间；称T为参数集或时间域；称X(•, ω)为其相应于ω的轨道，其中ω∈Ω。
通常取（E,ε）=(R,B(R))或（E,ε）=（R^n,B(R^n))。
注意：对于每个固定的ｔ∈Ｔ，X(t,•)为一个随机变量；而对于每个固定的ω∈Ω，X(•, ω)为t的实函数，是相应于ω的轨道。
2.2随机过程的数字特征及有限文分布函数族
为了刻画随机过程的概率特征，通常用到均值函数、方差函数、协方差函数（相关函数）以及有限文分布函数族及特征函数族等概念。以下恒设｛x_tt∈T｝为（Ω,F,P）上的以（E,ε）为状态空间的随机过程。
定义2.2.1（1）称m_X (t)=E(X_t ),∀ｔ∈Ｔ为随机过程｛x_tt∈T｝的均值函数；
（2）称D(t)=E〖((X_t-m(t)))〗^2为随机过程｛x_tt∈T｝的方差函数；
(3）称C_X (s,t)=cov(X_s,X_t)为随机过程｛x_tt∈T｝的协方差函数；
（4）称R_X (s,t)=E(X_s X_t)为随机过程｛x_tt∈T｝的相关函数。
2.3随机过程的分类
随机过程｛x_tt∈T｝可按参数集连续或离散分为两类：
若参数集T是有限集或可列集，则称｛x_tt∈T｝为离散参数随机过程或者随机列；
若参数集T是有限或无线区间，则称｛x_tt∈T｝为连续参数随机过程。
随机过程｛x_tt∈T｝按状态空间的元素是否可列可分为两类：
若状态空间元素可列，则称｛x_tt∈T｝为离散型随机过程或者链；
若状态空间元素无限不可列，则称为连续型随机过程。
随机过程｛x_tt∈T｝按其概率特征，分为以下几类。
1.平稳独立增量过程
定义2.3.1.设｛X_tt∈T｝为随机过程，任意严格单调递增的序列{t_k,k≥1}⊂T，若过程增量{X_(t_k )-X_(t_(k-1) ),k≥1}相互独立，则称｛X_tt∈T｝为独立增量过程；若对一切0≤s<t，增量X(t)-X(s)的分布只依赖于t-s，则称过程为严平稳过程。具有平稳增量的独立增量过程简称为平稳独立增量过程。
常见的平稳独立增量过程有泊松过程和Brown运动
2.Markov过程
3.计数过程
在生活实践中，常常会遇到这样一类随机现象，例如，考虑一段时间内到某商店购物顾客数或超市中等待结账的顾客数；公路上某路口的经过的骑车的数量；某地区一段时间内死亡人数、出生人数，保险公司接到的索赔数量等。但如果将“接待以为顾客”、“通过一辆汽车”、“死亡一个人”和“出生一个婴儿“等都抽象为一个”随机点“，那么这种源源不断出现随机点的过程就是随机点过程，如果计算在某一段时间内出现的随机点的数量，当然这个数量也是随机的，并且它是随着时间的延伸而不断变化，那么就成这个随时间变化的数量为计数过程。即计数过程表示在一定时间内已经发生的”事件“的数量。以后讲的泊松过程、更新过程都是简单的计数过程。
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