一类三次直纹面的研究(2)
取直纹面上一导线,它的参数用 表示.在该导线上任取一点，设过该点的直母线上的单位向量为 ,则直纹面的参数方程可表示为
.
分别对 求偏导，可得 .
由此可得，直纹面的第一基本量为
单叶双曲面的导线就是其腰椭圆；双曲抛物面的导线是其开口方向分别向上和向下的两条异面的抛物线.
二次曲面已经被很多人多次详细且深入地进行过研究，所以接下来主要研究一类由两条异面直线以及一条二次曲线为导线的直纹三次曲面的参数方程，它的性质及证明并加以总结.
3抛物型三次直纹面及其性质研究
3.1抛物型三次直纹面的参数方程
在直角坐标系 下，设三条导线的方程分别为：
（3-1）
（3-2）
（3-3）
过直线 和 的两平面束所产生的直线族方程为：
（ ， 为参数） （3-4）
因为母线 的运动始终与抛物线 相交，所以，直线 与平面 的交点应该满足（3-3）式，这样的话就可以得到使母线 与三条导线相交的条件：
. （3-5）
由式（3-4）和式（3-5）将参数 和 消去，得到的母线 的轨迹方程为：
. （3-6）
由式（3-3）知 ，所以
.
由式（3-4）可知：
.
. （3-7）
由式（3-4）和 可知：
, （3-8）
和
, （3-9）
将（3-7）中的 和 用（3-3），（3-8）和（3-9）代入得：
.
则抛物型三次直纹面的参数方程可以表示为：
.
3.2抛物型三次直纹面是不可展曲面
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