定义3[1]：  设f（x）是定义在可测集 上的实函数，如果对于任何有限实数a，E[f>a]都是可测集，则称f（x）为定义在E上的可测函数.

定义4[1]：  设X是一个集，S是由X的子集组成的一个 -环，满足条件 ，我们称X和S是一个可测空间.

定义5[1]：  设（X，S）是一个可测空间， 是S上的一个测度，这样三位一体形成的（X，S， ）称为测度空间.

定义6[1]：  设 是一个实值函数列，如果存在测度为零的集`优尔^文:论;文'网www.youerw.com ，对于每个 ，可以找到一个整数 ，使得 ，有

 ，则称 几乎处处一致收敛到f.

定义7[1]：  设 是一个几乎处处有限的可测函数列，如果对于每一个 ，存在一个可测集F使得 ，使得 在 上一致收敛到一个有限值可测函数f，则称 近一致收敛到f.   

定义8[1]：  设 是一个几乎处处有限的可测函数列，f是一个可测函数，如果对于每一个 ，有 ，则称 依测度收敛到f. 

3. 可测函数列各种收敛性的等价测度描述

3.1 几乎处处收敛的等价测度描述

设 和f是测度空间（X，F， ）上的可测函数. 如果

 ，

且f a.e.有限，则说可测函数列 几乎处处以f为极限，记为 .

    换句话说， 几乎处处以f为极限就是表示，存在一个 的零测集M，使得当x不在这个零测集M上时，n趋于无穷大时，可测函数列 ，收敛到有限值f(x).也不难得到 .而对于 （即全空间的测度为1）这个特殊的空间，论文网我们将函数列几乎处处收敛称为函数列几乎必然收敛.

3.2 近一致收敛的等价测度描述

设 和f都是测度空间（X，F， ）上的可测函数. 如果对任给的 ，

有则说可测函数列 近一致收敛到f，记为 .

由近一致收敛的定义，可以看出，在绝大的位置上，有 .