3.竞赛中常见的数论问题

3.1整除理论有关

整除有关的题型主要涉及被某个数整除问题、因数倍数问题、质数问题、奇偶分析法和抽屉原理相关的问题。

3.1.1被某个数整除问题

被某个数整除有关的问题，一般题型是问某个多位数一个或多个数位上的数不明确的情况下能被一个整数时，求不明确的数位上的数是多少，考察学生对整除的掌握情况。

例1  六位自然数1082□□能被12整除，末两位数有         种情况。

（第1届“希望杯”全国数学邀请赛小学五年级第1试 第10题）

分析  考察对一个数被另一个数整除的掌握情况。学生应该掌握能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的数各有什么特征，常用的结论如下：

（1）若一个整数能被2整除，则这个整数的末位数字是0、2、4、6或8；

（2）若一个整数能被3整除，则这个整数的各个数位上的数字之和能够被3整除；

（3）若一个整数能被4或25整除，则这个整数末两位组成的数能够被4或25整除；

（4）若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0或5；

（5）若一个整数能被8或125整除，则这个整数末三位组成的数能够被8或125整除；

（6）若一个整数能被9整除，则这个整数的各个数位上的数字之和能够被9整除；

（7）若一个整数能被7，11或13整除，则这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能够被7,11或13整除.

但更多时候是多种情况结合在一起，则要多种情况同时考虑。

解法  能被12整除，则能被3和4整除。能被4整除，则末两位能被4整除，则末两位数字有从04开始到96共24种选择；能被3整除，则各数位数字之和能被3整除，(1+0+8+2)&pide;3=3······2，则后两位数字之和被3除余1，故有04、16、28、40、52、64、76和88共8种情况。综合起来，所以末两位数总共有8种情况。

优化  在后面找被3整除余1的末两位数时，可以选择更简单的方法。能被4整除的末两位最小为04，整体六位数能被12整除，则之后能被12整除的数必定是在108204的基础上增加12，故只要末两位数字不停地加12即可。最大的末两位数为88，故总个数为（88-4）&pide;12+1=8种。此方法可以简化解题过程，节约解题时间。

小结  一个整数被一个数整除是数论中比较基础的一部分，在后续的判断质数和分解因数中经常用到。这类题型思路简单，看重的是运算，在多次练习该类题型后，可以练就“数字感”，碰到一个较大的数，可以准确又快速地对其进行分解。

3.1.2因数倍数有关问题

因数倍数有关问题，一般题型是运用最小公倍数和最大公因数解决应用问题的情况，考察学生能否利用最小公倍数和最大公约数求最大值或最小值。

例2  将252块巧克力，294盒饼干，336袋牛奶分成相同的份数，并且都没有余数，那么最多可以分成         份。

（第10届“希望杯”全国数学邀请赛小学五年级第1试 第5题）

分析 这是典型的求若干个数的最大公约数的题型，考察学生对公约数和最大公约数的理解。可以采用分解质因数法和辗转相除法。

解法1（分解质因数法） 252=2×2×3×3×7，294=2×3×7×7，336=2×2×2×2×3×7 三个数的公共质因数部分为2×3×7，最大公约数为42，故最多可以分成42份。

解法2（辗转相除法） 294-252=42，252=42×6，所以（252，294）=42，336=42×8，所以（252，294，336）=42  所以最多可以分成42份。