浅谈线性方程组迭代求解
线性方程组在线性代数中扮演着不可或缺的角色，随着数学和科技的不断发展进步，使其在生活中的各个领域有着广泛的应用，电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等。当然在一些科学研究中，线性方程组也起着重要的辅助作用，在很多大型实验和调查后期的数据处理上，线性方程组的应用节约了很大的精力也大大提高了工作效率。因此，如何使用合理的计算量求解一个线性方程组就成了数值计算方法的一个重要课题。根据不同的方程组特点，我们要找到相对快捷和精准的解法。线性方程组的迭代方法是一种极限方法，尤其是对于解大型稀疏矩阵方程组而言快捷、有效。他的基本思路是：用某种极限过程去逐渐逼近线性方程组的精确解，是一种逐步逼近法求解的方法。本文主要介绍古典迭代法（Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法以及SOR迭代法）、简单了解 H—矩阵松弛型矩阵多分裂迭代法、 子空间迭代法，并对古典迭代法每一种方法的收敛性进行分析,比较Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法以及SOR迭代法的收敛速度，探索，这几种迭代法的适用性。将Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法以及SOR迭代法在具体的题目中进行对比分析，并在MATLAB中运行。48381
毕业论文关键字：古典迭代法、收敛性、MATLAB、 H—矩阵松弛型矩阵多分裂迭代法、 子空间迭代法
ABSTRACT As early as 2000 years ago, the Chinese people to record and study on the linear system of equations. First appeared in the early party Cheng Zhang "nine chapter arithmetic", than the record 1500 years before the whole of Europe.
Linear equations plays an indispensable role in linear algebra, with the continuous development of mathematics and science and technology progress, make it has been widely used in various areas of life, electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some scientific research system of linear equations, of course also plays an important supporting role, in many large later data processing experiment and study, a system of linear equations of the application to save a great deal of energy is also greatly improve the working efficiency. Therefore, how to use the reasonable calculation of solving a linear completed ?
Key words: classical iterative method ； efficient iterative method,；convergence ；MATLAB
目录
摘 要 2
ABSTRACT 3
1、综述： 4
2、古典迭代法： 5
2.1基本概念： 6
2.2收敛性定理 8
2.3例题列举： 9
2.4小结： 30
3. H-矩阵松弛型矩阵多分裂迭代法概念和性质 30
4. 子空间迭代法 32
致谢 34
参考文献 35
1、综述：
科学和工程计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科学计算之一。他是一个实用性很强的多学科的交叉领域，是传统的计算数学的外延和进一步发展，与众多科学和工程领域及计算机科学密切相关。计算数学是科学和工程计算的核心，从某种意义上来说，人类的计算能力是计算工具的性能与计算方法的效能的乘积，计算数学中常用的数值计算方法则是解决科学和工程计算问题的桥梁和工具。
随着科技的不断进步，科研项目和大型工程不断增加，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如Ay=b的大型线性方程组。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ay=b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发现了许多非常有效的迭代方法。迭代法是按照某种规则构造一个向量序列｛y)(k｝，使其极限向量x是Ax=b的精确解。因此，对迭代法来说一般有下面几个问题：（1）要怎样构造正确的迭代序列？（2）构造的迭代序列是否收敛？在什么情况下收敛？（3）如果收敛，收敛的速度如何？我们应该用具体的例题，用以比较各种迭代法收敛的快慢。（4）由于计算总是有限次的，所以总要讨论近似解的误差估计，这又和舍入误差的分析有关。迭代法具有的优点：计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等。例如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法、SSOR方法，这几张迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。
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