摘  要：不等式的证明是数学研究的重要内容，不等式的证明方法多种多样.但是有些不等式用初等方法来证明时难度系数较高并且需要很强的技巧，而利用微积分的有关知识来证明这些不等式时可以使证明思路变得简单，技巧性降低.本文根据微积分的有关知识，总结了一些常见的证明不等式的基本思想和方法，并用实例加以说明.54120

毕业论文关键词：微积分，不等式，单调性，泰勒公式，凹凸性

Abstract: The proof of inequalities is a crucial content in Mathematical studies. There are varied of proof methods, however, if you use an elementary method to prove inequalities, the difficulty coefficient will be comparatively high and strong skills will be necessary. While the proof line will become simple and the technique will be reduced if you verify inequalities with relevant knowledge of calculus. This paper summarizes a few basic thoughts and methods of proving inequalities and illustrates them with examples.

Keywords: Calculus, inequality, monotonicity, Taylor formula, concavity and convexity

目  录

1  前言 4

2  微分在不等式证明中的应用 4

2.1  利用函数单调性证明不等式 4

2.2  利用中值定理证明不等式 5

2.3  利用泰勒公式证明不等式 6

2.4  利用函数的极值或最值证明不等式 8

2.5  利用函数凹凸性证明不等式 9

3  积分在不等式证明中的应用 11

3.1  利用积分性质证明不等式 11

3.2  利用估值定理证明不等式 12

结  论 13

参考文献 14

致  谢 15

1  前言

    17世纪到19世纪是数学发展史上的重要时期，在这个时期里数学最具影响力的发展就是微积分学的创立.微积分学的创立极大地推动了数学的发展，以前很多初等数学无法解决的问题，运用微积分学的相关知识往往迎刃而解，显示出微积分学的无穷魅力.微积分学是微分学和积分学的总称，它是一种数学思想和方法，“无限细分”是与众不同，“无限求和”是不可缺少.微积分是高等数学的核心部分，微积分的思想和方法是高等数学乃至整个数学的典型思想和方法.同时不等式也是高等数学和数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间的关系.在不等式的证明中，我们常常采用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明不等式，但是用这些初等方法证明时，常常需要较高的技巧和巧妙的变形.而随着微积分概念的引入，微积分的思想和方法作为研究函数性质的工具，在不等式证明中的作用也变得越来越明显.微积分的思想和方法的引入为解决不等式的证明找到了切入点，使不等式的证明思路简单，技巧性降低.

2  微分在不等式证明中的应用

2.1  利用函数单调性证明不等式

定理1[3] 设函数 在 上连续，在 内可导，

（1）若在 内 ，则 在 上单调增加.

（2）若在 内 ，则 在 上单调减少.

利用函数单调性证明不等式时，关键是把证明不等式的问题转化为求解函数的单调性问题.其证明的一般步骤为：第一步，构造适当的辅助函数 ，通常取不等号两边的函数之差或之商作为辅助函数；第二步，求辅助函数的导数，再利用定理1判定辅助函数所在区间的单调性；第三步，利用函数单调性的定义来证明不等式.要注意在使用函数单调性证明不等式时，不等式两边的函数必须可导；对于所构造的辅助函数 应在某闭区间上连续，开区间上可导，且在闭区间的某端点处 的值为 或 .当一阶导数不能判断函数的单调性时，我们往往需要利用高阶导数来判定函数的单调性.