摘  要：本文根据正交矩阵的定义总结了正交矩阵的一些性质，讨论了正交矩阵的特征值，给出广义正交矩阵的定义，归纳了广义正交矩阵的若干性质。

毕业论文关 键 词：正交矩阵，特征值，广义正交矩阵55658

Abstract: In this paper，based on the definition of orthogonal matrix，some properties of orthogonal matrix were summarized. The eigenvalues of orthogonal matrix were discussed.The definition of generalized orthogonal matrix was given. Some properties of generalized orthogonal matrix were summarized.

Key words: orthogonal matrix, eigenvalue, the generalized orthogonal matrix

目   录

1  引言 4

2  正交矩阵的性质 4

3  矩阵行列转置的定义和引理 10

4  广义正交矩阵的定义和主要性质 11

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1  引言

矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一类特殊的矩阵.所谓正交矩阵，是指实数域 上 阶矩阵 满足 ( 表示 阶单位矩阵) .由正交矩阵的定义可知，正交矩阵是可逆的，且 .由矩阵的逆的性质得 .

为了方便起见，文中规定 、 、 、 分别为数域 上 阶实矩阵 的逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵和行列式， 表示实数域上 阶全体矩阵.

2  正交矩阵的性质

性质1  若 阶实矩阵 为正交矩阵，则 的 个列（行)向量是两两正交的单位向量.

证明  设 ，

由 为正交矩阵知 ，从而有 

即矩阵 的每一列都是单位向量，且任意两列正交.证毕.

性质2   设 阶实矩阵 为正交矩阵，则:

1)对 的任意一列（行)乘以 或任意两列（行)互换，所得矩阵仍然是正交矩阵;

2) ，且 可逆，其逆 也是正交矩阵;

3) ， 也是正交矩阵.

证明  1)设 ，其中 是 的列向量组.由性质1知， 是 的单位正交向量组.因此 以及 也都是 的单位正交向量组.从而对 的任意一列（行)乘以 或任意两列（行)互换，所得矩阵仍然是正交矩阵，结论成立.

2)由 ,知 .又由 ,知 .

故 也是正交矩阵.

3)由 ,知 是正交矩阵.因为 ，所以 

所以 是正交矩阵.

性质3   设 阶实矩阵 为正交矩阵，则

1)若 是 的特征值，则 也是 的特征值;

2) 的特征值的模等于1，且属于 的不同特征值的特征向量互相正交.

证明  1)设 是 的特征值，则存在不为零的 维向量 ，使 ，在 两端左乘 ，得 .又因为 是可逆的，所以由 得  ，从而得 ，所以 是 的特征值.又因为 ，且 与 有相同的特征值，故 是 的特征值.

2)设 为矩阵 的特征值， 是 的属于特征值 的特征向量，从而有               ，

而 ，故 ，即 的模等于 .另设 是矩阵 的另一个特征值，且 ， 是 的属于特征值 的特征向量，由

 ， ， ，可得所以 ，而 ，从而 ，故 ，即 与 互相正交.证毕.

性质4  设 阶实矩阵 为对称正交矩阵，则 的特征值只能为1或-1.

证明  因为 阶实矩阵 为对称正交矩阵，所以 ， .设 是矩阵 的特征值， 是 的属于特征值 的特征向量.则有

 ， ，又由 ，知 ，则有 .因为 ，所以 ， .故 的特征值只能为1或-1.证毕.

性质5  设 阶实矩阵 为上（下)三角的正交矩阵，则 必为对角矩阵，且主对角线上的元素为1或-1.