最值问题几乎遍布于高中教材的各个知识块，各个知识水平层面，其解法灵活，综合性强，能力要求高，是中学教材中的重难点．求解这一类题目，需要学生综合运用所学知识，灵活运用解题方法．本篇论文综合方法及例题全方面解析中学数学中的最值问题．

2 函数最值

2.1 函数及函数最值 

　在中学数学中最常见的最值问题当属函数最值问题．这要求学生充分理解函数以及其性质．

　函数的传统定义为：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．这个定义是从运动变化的观点出发，初中所涉及的函数停留在这个层面，为一元函数．

　函数的近代定义为：设A，B都是非空集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，集合A叫做函数f(x)的定义域．符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数值，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式．y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．可以看出近代定义是从集合、映射的观点出发，他所表示的函数不一定是数集，但是我们讨论的最值问题函数都是数集的映射．

　函数最值分为最大值和最小值．函数的最大（小）值定义为：

一般地，设函数y =f (x)定义域为I，如果存在实数M满足：

①于任意的x ∈I都有f(x)≤（≥）M；

②存在x0∈I使得f(x0)=M；

则称M是函数y=f (x)的最大（小）值．

　函数本身就是个复杂的知识点．根据自变量的个数可以分为一元函数、二元函数、三元函数等（中学数学中一元、二元函数居多）．根据自变量的最高次数可以分为一次函数、二次函数、三次函数等．另外还有一些特殊函数，如三角函数，反函数等．当所求函数自变量多且次数高时，求解最值变得更加复杂困难．

2.2 一元函数最值

　一元函数的最值在函数最值问题中是比较简单的问题．对于一元函数的最值解法有换元法、不等式法、导数法等．

2.2.1 判别式法

　在求解一些函数最值题目中常用一元二次函数判别式求解最值．对于任意一个一元二次方程 均可配成 ，因为a≠0，由平方根的意义可知， 的符号可决定一元二次方程根的情况， 叫做一元二次方程的根的判别式．

　根据判别式以及a的正负可以知道函数的单调性从而可以求出对应区间的函数最值．然而有些非一元二次函数最值问题同样可以用判别式求解．

例1　求解函数 的最值．

解　 ,∴函数的定义域为R,原函数化为： ,判别式为 ,即  ,从而的函数最大值为  ，最小值为  ．

解析　本题并不是传统的一元二次函数最值问题，但是同样可以用判别式的方法求解最值，这要求充分理解函数基本概念，包括函数定义域、值域的概念，巧妙运用判别式．

2.2.2换元法

  　解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．此方法是求解最值问题最常见的方法之一．下面通过一个例题说明换元法在一元函数最值中的应用．