2  W.H.Young不等式

2.1  W.H.Young不等式的定义及证明

文献[1]中给出了W.H.Young不等式的基本形式和证明.

    引理2.1.1   设函数 在 上严格递增连续， ，  为 的反函数， , 则

   证明  由于 在 上严格单调增加的连续函数，得 在 上严格单调增加的连续函数，故 式中积分有意义，将区间 做 等分划，记分点为     相应的点 ,构成区间 的一个分划     ，因 在 上连续，故在 上一致连续，故 时，对于此分划来讲，有   ，

  式获证.

2.1.2（W.H.Young不等式)  设函数 是严格单调增加的连续函数, ,

 ,又设 为 的反函数，则对任意 成立不等式,                                                          

式中等号成立当且仅当 .

证明  方法一：分析法

  若 ,由 式可知，从而  中等号成立.

  若 ，由 的连续性可知，  ,使 ,

于是, 联系 可知 成立, 中的等号成立当且仅当 .                      

2.2  W.H.Young不等式的若干推广

    文献[2]给出了W.H.Young不等式的如下3个引理.

    引理2.2.1  设函数 在 上严格递减连续， 为 的反函数，则  .                         

    证明  由 在 上严格递减连续，可知 在 上也严格递减连续,故积分 有意义.将 分为 个等分，记分点为 ， 相应点 构成 的一个分割 :

 因 在 上连续，故在 上一致连续，当 时，对分割 来说，  

 于是     引理2.2.2  设函数 在 上连续且单调递减， 收敛，则