摘 要：本文利用Ricceri给出的三解定理，得到了一类含（p(x),q(x)）-Laplacian算子的椭圆型方程组弱解的存在性和多解性.

毕业论文关键词：变指数，椭圆型方程组，三解定理59020

Abstract: In this paper, we obtain the existence and multiplicity of weak solutions for a class Quasilinear elliptic systems involving (p(x), q(x))-Laplacian operators, the main tool is the three critical points theorem given by Ricceri.

Keywords: Variable index, Elliptic systems, Three critical points theorem

目录

1 前言 4

2 预备知识 6

3 定理证明 9

参考文献16

致谢  18

1 前言

近年来，变指数椭圆型问题越来越被重视，此类问题来源于物理、化学、生物等自然科学，对此类问题的研究可以促进这些学科的进一步发展，同时也可以推动数学学科的进步. 在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的极其丰富的规律和现象来指导实践.

最近，以Ricceri 中的三解定理为基础，得到了一系列关于方程（组）多解性的结果. 如在文 中Bonanno利用三解定理得到了下面两点边界值问题的三个解的存在性，

这里 是一个正参数， 是一个连续函数.

在文 中，Candito将文 的主要结果推广到非自治的情况，

这里 是一个参数， 是一个连续函数.

在文 中，He和Ge将 的主要结果推广到了解决拟线性微分方程的问题上，即

在 中,作者考虑了如下的问题：

                                                    (1.1)

这里 是 的非空有界开集， 是连续函数，其中 称为 算子. 作者证明了存在一个开区间 和一个正实数 ，那么对任何 ，问题(1.1)在 中至少存在三个范数小于 的解.

在文 中，作者考虑了如下类型的问题：

                     (1.2)

这里 是有界的且边界光滑的区域， 是一个实数， 是在 上的连续函数， ，我们用 表示 的外向单位法向向量. 其中算子 称为 算子，与之相应的方程称为变指数方程. 作者利用Ricceri三解定理在一定条件下证明了(1.2)三个弱解的存在性.

在文 中，作者考虑了如下类型的问题：

                               (1.3)

这里 是边界属于 的有界区域， 是实数， ， . 作者在一定的条件下证明了(1.3)三个弱解的存在性.

在文 中，作者考虑了如下的问题：

                                                  (1.4)

作者利用Ricceri三解定理在一定条件下证明了(1.4)三个弱解的存在性.

在文 中，作者考虑了如下的问题：

              (1.5)

利用Ricceri三解定理作者同样证明了(1.5)三个弱解的存在性.

本文考虑如下类型问题：

                                   (1.6)

这里 ， 是 ， 是一个函数，满足对所有 ， 在 上是可测的，并且对所有 ， 在 上是 的， 表示 关于 的偏导数， ， 

2 预备知识

我们列出一些本文所需的定义和基本性质，介绍有关Lebesgue-Sobolev空间 的一些结论，这里 是 的一个开子集，先介绍下面的一些符号.