摘要: 本文主要探讨第二型曲线积分的计算方法.主要包括：直接转化为定积分；应用格林公式；应用斯托克斯公式；利用路径无关性；转化为第一型曲线积分；利用对称性；全微分法等. 并结合实例，分析各种方法的计算技巧与特点．59190

毕业论文关键词: 第二型曲线积分；格林公式；斯克托斯公式；全微分

Abstract: In this paper, we mainly discuss computation methods for the second type of curve integrals, which include the methods transforming them to definite integrals or the first type of curve integrals, and computing them by Green Formula, Stokes Formula, symmetry, complete differentials or independence of integral paths, etc. We also analyze computation techniques and characteristics of various methods by some examples. 

Key words:  the second type of curve integrals，Green Formula，Stokes Formula, complete differential．

1 引言 4

2 第二型曲线积分的计算方法 5

2.1 直接化为定积分 5

2.2 应用格林公式 7

2.3 利用斯托克斯公式 9

2.4 利用曲线积分与积分路径无关性 10

2.5 利用与第一型曲线积分的关系 12

2.6 利用奇偶对称性 13

2.7 全微分法 14

结论 16

参考文献 17

1 引言

第二型曲线积分也称作对坐标的曲线积分，是多元函数积分学中一种重要的积分形式，其应用极为广泛，尤其是在力学和电磁学中有着重要的应用,利用第二型曲线积分解决的比较典型的问题是力场做功问题. 因此，研究第二型曲线积分有着重要的意义. 

近来，有一些学者对第二型曲线积分的计算作了研究. 见[1-7]. 本文将在此基础上，进一步探讨探讨第二型曲线积分的计算方法, 并结合实例，分析各种方法的计算技巧与特点．

    下面我们对第二型曲线积分的定义和性质作简要回顾. 见[8-9].

    设函数 与 定义在平面有向可求长度曲线 上.  的任一分割 将 分成 个小曲线段  ， ,其中  记各小曲线段 的弧长为 ，分割 的细度 = .又设 的分点 的坐标为 ，并记 , .在每个小曲线段 上任取一点 ，若极限

存在且与分割 及点 的取法无关，则称此极限为函数 沿有向曲线 上的第二型曲线积分，记为

              或 .

上述积分也可写作

或者简写成 或 .

    若 为封闭的有向曲线，则记为 .

    第二型曲线积分与曲线 的方向有关，对同一曲线，当方向由 到 改为由 到 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得的 也随之改变符号，故有

                   .

   第二型曲线积分有如下性质:

    1. 若 存在，则 也存在，且

      ，其中 为常数.源[自*优尔^`论\文"网·www.youerw.com/

    2. 若有向曲线 是由有向曲线 首尾相接而成，且  存在，则 也存在，且

   对空间曲线上的第二型曲线积分，可见[8-9], 在此不作赘述.

2  第二型曲线积分的计算方法

   第二型曲线积分的计算方法可分为利用定义直接计算和间接计算，间接计算中利用到两个重要定理即斯克托斯定理和格林定理．下面我们逐一进行探讨．