几类时间序列模型设定检验方法的比较分析(3)
如果时间序列 的均值、方差和自协方差都不取决于时刻 。则称时间序列 是弱平稳或协方差平稳，即满足以下三个性质：
对于所有的 和 .
阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
式中：参数 为常数； 是自回归模型系数； 为自回归模型阶数； 均值为0，方差为 的白噪声序列； 。因为 ，所以上述过程总是可逆的。为了满足平稳性特征，多项式 的根必须在单位圆之外。自回归模型可用来描述时间序列的当前值由其滞后期加上随机冲击所决定的情形。
3.11 一阶自回归AR(1)过程
一阶自回归过程可以表示为 ，该过程总是可逆的。因为在给定 的条件下， 的分布与在给定 条件下的分布完全一致，所以AR(1)过程也称作马尔可夫过程。AR(1)过程的ACF 自协方差可由下式得到：
因此，当 且该过程平稳时，ACF将呈指数形式衰减，具体有两种衰减形式，这取决于 的符号：如果 时，所有的自相关函数数值的符号为正；如果 时，自相关数值的符号将呈现出正负交替的情形，并且第一个数值为负值。
AR(1)过程的PACF为：
AR(1)过程的PACF依赖 的符号在滞后一期出现或正或负的峰值，随后截尾。
3.12 二阶自回归AR(2)过程
对于二阶自回归过程AR(2)过程，有
作为有限阶的自回归模型的AR(2)过程总是可逆的。为了满足平稳性，
的根必须在单位圆外。AR(2)模型的平稳性条件的参数取值范围，即满足：
具体推导过程在此不一一赘述，具体参见WilliamW.S.Wei的《时间序列分析》p36-37[7]。
AR(2)过程的ACF
若 的根为实根，ACF将呈指数衰减，若 得根为负根，ACF将呈阻尼正弦波动。AR(2)过程的PACF在滞后两期后截尾。
3.13 阶自回归AR(p)过程
阶自回归AR(p)过程为
一般AR(p)过程的ACF的拖尾是指数衰减或阻尼正弦波动的混合形式，这依赖于 的根。这些根是复根则呈现出阻尼正弦波动。
一般AR(p)过程的PACF在滞后p期后截尾，这一性质对于把AR(p)模型作为时间序列生成过程将会很有用。
3.2自回归条件异方差模型(ARCH)
自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heterokedasticity model，ARCH模型）通常认为自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？是怎样出现的呢？恩格尔和克拉克（Kraft,D.，1983）在分析宏观数据时，发现一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性通常比假设的要差。恩格尔的发现说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差常常会成群出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。从事股票价格、通货膨胀和外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者发现，对这些变量的预测能力随时间的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变化很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币政策与财政政策变化等的影响，从而有理由相信误差项的扰动项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且依赖过去误差的大小。
3.21 ARCH模型
为了刻画预测误差的条件方差中可能存在的某种相关性，恩格尔（Engle）提出了自回归条件异方差模型。ARCH模型的主要思想是：扰动项 的条件方差依赖于它的前期值 的大小。ARCH(1)模型就是时刻 的 的条件方差( )依赖于( )的扰动项平方的大小，即依赖于 。
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