一阶常微分方程周期系统的研究
关键词 常微分方程，周期系统，边值问题8226
毕业设计（论文）外文摘要
Title The Research of First-order Ordinary Differential Equation Cyclic System
Abstract This paper first introduces the history and the basic concepts of the ordinary differential equation .Then it gives the general theories of one-step ordinary differential equation periodic system .Finally it gives some examples of periodic systems.
Keywords： Ordinary differential equation;Cyclic System;Boundary value problem
目 次
1绪论…1
2基本概念… 2
3一阶常微分方程的周期边值问题 …4
3.1 一阶常微分方程的Cauchy问题 … 4
3.2 一阶常微分方程的周期边值问题 9
3.3 n文空间下的一阶常微分方程的周期边值问题 12
4 周期系统的例子 … 15
结论 … 20
致谢 … 21
参考文献22
1 绪论
常微分方程在微积分出现后不久就出现了，对其的研究可分为几个阶段。
发展初期是对具体的常微分方程希望用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”的时代。Leibniz曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题，而Euler则试图用积分因子统一处理，Bernoulli、Riccati微分方程就是在研究初等积分时提出的方程。
早期的常微分方程的求解热潮被Loreauville于1841年证明Riccati方程不存在一般的初等解而中断。加上Cauchy初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。
首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究。
其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如Bessel函数、Legendre多项式等，这促成了微分方程与（复变）函数论结合产生微分方程解析理论。
同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数的近似方法的研究。
19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。
首先，Poincare创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。由于Hilbert提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。
另一方面Lyapunov提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问题，在天文、物理及工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联、美国受到极大的重视。
同时，Birkhoff在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经Arnold、Smale等大数学家的参与而得到蓬勃发展。
20世纪优尔七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等。科技与数学界的重大发现时混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立子直接与微分方程有关。Lorenz在20世纪60年代发现了被称为Lorenz方程的常微分方程，初始敏感的特性导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，Smale称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解，但它们往往对应于可积德哈密顿系统的常微分方程，从而引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研究热潮。
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