一阶常微分方程周期系统的研究(2)
常微分方程有丰富的理论与应用，本文仅就一阶常微分方程周期边值问题进行研究。
2 基本概念
微分方程：联系自变量、未知函数及其导数的关系式。
实值微分方程：自变量、未知函数均为实值的微分方程。
复值微分方程：未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程。
常微分方程：只有一个自变量的微分方程。
一阶微分方程：微分方程中未知函数的导数最高为一阶。
阶微分方程：微分方程中未知函数的导数最高为 阶，一般形式为 (1)
线性微分方程： 阶微分方程(38)的左端为 的一次有理整式称为线性微分方程。 阶线性微分方程的一般形式为
(2)
其中 为 的函数。
非线性微分方程：不是线性微分方程的微分方程。
(显式)解：使微分方程(1)变为恒等式的函数 称为方程的解。
隐式解：如微分方程(1)的解 由关系式 决定，称 为微分方程(1)的隐式解。
通解： 阶微分方程(1)的含有 个独立的任意常数 的解
隐式通解(通积分)：由含有 个独立的任意常数 的关系式 决定的 阶微分方程(1)的解。
定解条件：为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件。
定解问题：求微分方程满足定解条件的解的问题。
初值条件： 阶微分方程(1)的初值条件为
当 时 或写为
初值问题：当定解条件为初值条件时的定解问题。
特解：满足定解问题的解。积分曲线：一阶微分方程 (3)
的解 在 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(3)的积分曲线.曲线上的点的斜率 值为 。
向量场：一阶微分方程(3)的右端函数 定义为在 平面某区域 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域 为方程(3）所定义的向量场(方向场，线素场)，通过向量场可以判断微分方程的解的走向。
等倾斜线：向量场中方向相同的曲线 称为等倾斜线或等斜线。
微分方程组： 阶微分方程
可通过变换
化为一阶方程组或写成向量形式
其中 。
驻定微分方程组：微分方程组右端不含自变量 的方程组
(4)
动力系统：对 文空间某区域 的 到 的含参数 的同胚映射(变换) ，如满足恒同性 和可加性 .则称映射 为 上的动力系统。
微分方程所定义的动力系统：由驻定微分方程组过 的解 可定义动力系统 称为微分方程所定义的动力系统。
相空间：不含自变量，仅由未知函数组成的空间。
轨线：微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交。
奇点(平衡解、驻定解）：驻定微分方程组(4)右端函数 的满足 的解 称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点。
垂直、平行等倾斜线：平面一阶驻定微分方程组
等价于一阶微分方程
或
在相平面 上的等倾斜线 中, 即 时的曲线为垂直等倾斜线； 即 时的曲线为平行等倾斜线。垂直、平行等倾斜线的交点为奇点。
3.一阶常微分方程的周期边值问题
3.1 一阶常微分方程的Cauchy问题
本节主要介绍了一阶常微分方程的Cauchy问题的一般理论，旨在为后面的周期边值问题做铺垫。
下一篇：复数辐角及其应用+文献综述