反证法又称为归谬法，是间接证明的一种方法，它的实质是通过证明等价命题的正确性来肯定原命题的真伪。也就是说，反证法是从结论的反面入手，说明结论不容否定，从而证明结论的正确性。其核心是否定题设后去找矛盾，至于怎么去找矛盾，这是反证法的关键点，同时也是它的难点所在。

总之，用反证法去证明一个真命题，最后一定要出现矛盾，即与题设矛盾，或者导致题设自相矛盾，或出现一个自相矛盾的结果。

2.2 数学符号使用说明

现就本文中即将使用的一些数学符号语言 加以解释说明:

（1） 命题“若p则q”的数学表达式为“ ”．

（2） 命题 的否定即非 的数学表达式为“ ”．

（3） 集合 与集合 的交集的数学表达式为“ ”．

（4） 集合 与集合 的并集的数学表达式为“ ”．

2.3 反证法的步骤和特点

一般情况下，反证法证明命题有以下三个步骤（原命题为“若p则q”，其逻辑表达式为 ）：

（1）提出反设：否定原命题的结论 （即设 ），假设结论的反面成立（即 ）．

（2）进行推理：从“反设”出发，结合已知条件，进行严格的逻辑推理，推导出逻辑矛盾．

（3）得出结论：由逻辑矛盾判定“反设”不成立，从而肯定命题结论的正确性（即 　为真）．

反证法与一般的证明方法不同，它采用的是逆向思维方式，即不直接证明结论，而是间接的去否定与事物相反的一面，从而得出事物真实的一面，是一种让步的、间接的证明方法。从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论，肯定原命题的条件，由此导出矛盾。

2.4 反证法的逻辑依据

反证法和直接证明法一样，它的推理过程遵循形式逻辑基本规律的要求。

首先，反证法是通过证明原命题 的反命题 ， 是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断。根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同时为假），因此， 与 一定有一个是真的，一个是假的。而由反证法已经证明了 是假的（导出矛盾），所以原命题 一定是真的，即证明了原命题。

另一方面，用反证法推导出矛盾，实际上是构造并证明了另外一个新命题“ ”，即“原命题 的反命题 是”。而 .所以，“反命题的矛盾性”与“原命题的正确性”是两个互相等价的命题。

由此可见，反证法的每一步都有其逻辑依据，它是一种科学的证明方法。反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律，通过证明与原命题逻辑等价的命题“烦命题的矛盾性”来间接证明原命题的正确性。

3 反证法在微积分学证明题中的应用举例

虽然反证法的应用范围很广泛，解决问题很巧妙，但什么样的命题才适合使用反证法或首选反证法来证明，要具体回答这个问题是不容易的，这需要经过不断的探索与总结。但总的来说，用直接法不易证明的命题可以尝试采用反证法来证明。下面，我将提出几类适用于反证法来证明的命题。

3.1 对于待证命题的结论以否定形式出现，可以考虑用反证法

否定性命题即结论以否定形式出现的命题，由于定义、定理等一般都是以肯定的形式出现，若采用直接证法一般不易得证，而运用反证法从结论的反面入手，即将结论改为肯定的形式，这样困难就会迎刃而解。

例1  若 在 可导，且无界，证明 无界.反之若 在 无界，证明 在 无界.