摘要：实数的完备性是实数集的一个基本特征，也是分析学的坚实理论基础. 实数完备性包含六个基本定理. 它们从不同的方面，不同角度刻画了实数集的连续性. 实数完备性的六大基本定理之间是相互等价的. 本文将以单向循环的形式给出了六大定理的等价性证明. 60516

毕业论文关键词：单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，确界定理，柯西收敛定理，等价性

Abstract：Completeness of real numbers is an essential feature of set of real numbers, also solid theoretical foundation of analysis science. The completeness of the real numbers contains six fundamental theorems, which depict the continuity of the set of real numbers from different aspects and different angles.The six fundamental theorems of completeness of the real numbers are mutual equivalent. In this paper,we gives the proof of the equivalence of the six theorems by one-way form of circulation.

Keywords：The principle of monotonicity and boundedness,Closed Interval Theorem   Limited coverage theorem,Accumulation point theorem,The principle of exact bounds,The Cauchy convergence theorem,equivalence

1 引言 5

2六大基本定理等价性的证明6

2.1由确界定理证明有限覆盖定理 6

2.2由有限覆盖定理证明聚点定理 6

2.3由聚点定理证明柯西收敛定理 7

2.4由柯西收敛定理证明单调有界定理8

2.5由单调有界定理证明区间套定理 9

 2.6由区间套定理证明确界定理10                              

    参考文献13

1 引言

1.1 实数完备性定理[1]

定理1（单调有界定理）：在实数系中，任意有界的单调数列必有极限.

定理2（闭区间套定理）：

    设 , 是一列有界闭区间，满足：

（1）： 有 ,即 . 

（2）： . 

则在实数系中存在唯一的一点 ，使得  

定理3（有界覆盖定理）：

设 为闭区间 的一个（无限）开覆盖，则从 中可选出有限个开区间覆盖 . 

定理4（聚点定理）：

实轴上的任一有界无限点集 至少有一个聚点. 

定理5（确界定理）：

    设 是非空数集，若 有上界，则 必有上确界；若 有下界，则 必有下确界. 

定理6（柯西收敛定理）：

    数列收敛 的充分必要条件是： 对于 存在正整数 ，使得当 时，有 . 

1.2完备性定理等价证明思路

本文按照以下的循环顺序对实数完备性的等价性进行证明：

  确界定理     有限覆盖定理 聚点定理

这些定理之间的相互证明构成了封闭循环，因此，它们是等价的，互为充要条件. 

2 六大基本定理等价性的证明

2.1 确界定理证明有限覆盖定理[4]

证明:设有集合   ，使 中存在有限个开区间能覆盖闭区间  .

     因为存在开区间 ,使 ，从而在点 的附近必存在 ，有 ，使得 中存在有限个开区间能覆盖闭区间 . 

     所以 . 

     显然， 有上界. 故根据确界定理得：数集 有上确界，设：

      假设 ，存在开区间 ,有 . 

     因为 是 的上确界，所以存在 ，使 . 

     故 中存在有限个开区间覆盖 ，再加上一个开区间 ， 中仍有有限个开区间覆盖区间 .