迭代法的基本思想方法如下：

设给定一个非奇异线性方程组

Ax=b，                                                                (1)

其中A=M-N ，(M可逆)则（1）可化为

Mx=Nx+b，                                                     (2)

由此得：

x=M^(-1) Nx+M^(-1) b，                                              (3)

或者

x=Bx+g 

(其中B是迭代矩阵)，B=M^(-1) N，g=M^(-1) b

从而我们建立迭代格式：

x^(（k+1）)=Bx^((k))+g                                         (4)

为了避免M^(-1) N，N^(-1) 的计算，我们按照以下方式进行迭代

Mx^((k+1))=Nx^((k))+b，                                                   (5)

给定一个初始向量x^((0))，其中B 为迭代矩阵，若产生的迭代{x^((k)) }收敛到一个确定的向量x^*，则x^*就是原方程组的解。

本文将对总结求解线性方程组的常用的几种定常迭代法与不定常迭代法，并在此基础上做一些探索。

本文分为四部分：

第一部分对于前言部分主要概述本课题的研究背景，介绍求解线性方程组的迭代法的内容以及现在研究的主要方向，并指出本文的研究方向，概括本文的主要脉络。

第二部分将主要介绍求解线性方程组的各种常用迭代法及误差并举例说明其应用。

第三部分总结本文成果与不足，并提出进一步研究方向。

第2章 线性方程组的常用迭代方法

在第2章，本文将主要介绍求解线性方程组的各种常用迭代法及其误差并举例说明其应用。 

依据迭代法的基本思想，我们可以将 A 分解，并进行适当变形，以得出相应迭代公式。

令A=D-L-U              (6)

其中

D=diag(a_11，a_22，⋯，a_nn )， a_ii≠0，i=1，2，⋯，n        (7)

L=-(■(0&0&⋯&0@a_21&0&⋯&0@⋮&⋱&⋱&⋮@a_n1&a_n2&⋯&0))，        (8)

U=-(■(0&a_12&⋯&a_1n@⋮&⋱&⋱&⋮@0&⋱&⋱&a_(n-1，n)@0&0&⋯&0))，     (9)

分别为对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。

2.1  线性方程组的定常迭代法

Jacobi迭代法

令

M=D，N=L+U

则由(5)式可得Jacobi迭代格式

x^(（k+1）)=D^(-1) (L+U) x^((k) )+D^(-1) b，(k=0，1，2，⋯)                      (10)

这里的B=D^(-1) (L+U)称为Jacobi迭代矩阵，其分量形式为

x_i^((k+1))=((b_i-∑_(j=1，j≠i)^n▒〖a_ij x_j^((k)) 〗))⁄a_ii ，i=1，2，⋯，n                        (11)

Jacobi迭代算法:

(1) 选定初值x^((0))，精度要求ε和最大迭代次数N;

(2) 对k=0，1，2，⋯，计算 ：

〖x_i〗^((k+1))=1/a_ii  (b_i-∑_(j=1，j≠i)^n▒〖a_ij x_j^((k)) 〗);

(3) 若‖x^((k+1))-x^((k)) ‖_∞<ε ， 则停止计算（x^((k+1))作为线性方程组的解）；