摘要: 无穷级数的应用是无穷级数理论中比较重要的内容,在数学解题中的应用具有较强的研究价值。本文中,我们主要总结归纳无穷级数在数学中的一些简单应用比如无穷级数在求和、求极限以及估计方面的应用并用一些例子来证明。64726

毕业论文关键词:无穷级数,求和应用,估计,求极限

Abstract:The application of the infinite series is a more important content of the infinite series theory.Application of the problem solving in mathematics has a strong research value.In this article, we mainly summarized some simple applications of the infinite series in mathematics.In sum, for example infinite series limit and estimate application with some examples to prove.

Keyword: infinite series,sum application,estimated,limit operation

目录

1 引言…4

2 无穷级数在求极限中的应用…4

3 无穷级数在估计中的应用6

4 无穷级数在求渐近值中的应用8

5 无穷级数在求和方面的应用…8

5.1 利用定义求和9

5.2 利用傅里叶级数求和…9

5.3 利用逐项微分和逐项积分求和…10

5.4 利用已知函数的幂级数展开式求和…13

5.5 用收敛级数解微分方程14

结论17

参考文献18

致谢19

1 引言

在我们所学的教材中,无穷级数是一个重要内容,对于无穷级数的研究具有重要的理论价值和研究意义.其中,无穷级数的应用是无穷级数理论的重要组成部分.

无穷级数的应用十分广泛,它在物理学,数学等学科上都用广泛的应用,尤其是在数学解题应用中有着不可替代的地位.比如如果我们要求无穷项数字的和,利用常规的方法我们可能算起来很繁琐甚至算不出来.这时我们利用无穷级数的一些定义或者性质可能就会很容易的算出来.这是无穷级数在求和方面的应用,除此之外无穷级数在求极限,估值方面也有很重要的应用.因而,无穷级数的应用是高等数学的重要组成部分.它虽然不是最难的部分但确是知识点十分密集的一部分,长期以来备受人们的关注.源:自~优尔-味·论`文'网·www.youerw.com/

许多学者做了大量的研究,对于一些具有特殊通项表达式的无穷级数的应用总结出了一些具体的解法(见文献[1-7]).由于无穷级数的应用的知识点十分密集,仅是无穷级数求和的应用就有多种方法,例如有利用定义求和、利用傅里叶级数求和、利用逐项积分和逐项微分求和、利用已知幂级数求和以及用无穷收敛级数解微分方程等等.对于一些较为简单的常数项级数,我们可以用无穷级数的定义进行解题计算,而对幂级数交错级数等较为复杂的级数,我们可以利用逐项积分逐项求导或者利用傅里叶级数等方法进行计算.先将题中复杂的,陌生的级数转化成简单的或者我们所熟悉的级数进行计算.无穷级数除了求和的应用外还有在求极限中的运用以及在逼近定理和求渐近值中的应用等.在求极限时,较为常用的方法便是把其中的一项或者几项展为幂级数再代入原式中进行计算,将一些无法直接求极限的函数式转化成易求极限的幂级数;而在估值的应用中,无穷级数常常被应用于逼近原理和求渐近值中.逼近原理是将函数在一个定区间中展开成一致收敛的多项式级数,然后逼近某个函数.而渐近值 与逼近原理 有些相似,但不同的是渐近值是求一个具体的数值.由于无穷级数的应用过多.

本文将在文献[1-7]的基础上简单的分析一些基本的应用,并在此基础上归纳了无穷级数在求和,求极限以及在估值中的一些简单应用.

2 无穷级数在求极限中的应用文献综述

观察所求函数极限的结构,把其中的一项或几项展开为 的幂级数,然后代入原题求出极限.这种方法可以化繁为简,将复杂的函数表为幂级数进行计算.