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    若 ( )均为常数，上式成为常系数线性微分方程　　　　　　　　　　　

                                           (1)

其中， 是在所论区间上的 的连续函数．若 方程称为非齐次的，若 方程称为齐次的．常系数齐次线性微分方程的标准方程为

而称　　                                          (3)

为方程(2)的特征方程，其根称为方程的特征根．

    定义4[5]  若记　 ， ，  ， ，以及 ，

分别称之为 阶， 阶,..., 阶微分算子和方程(1)的算子多项式，则方程(1)可改写为

 ，从而方程的特解为 ，其中 称为 的逆算子．

    定义5[6]  设函数 在区间 上有定义，若含参变量 的无穷积分 对 的某一取值范围收敛.则称

 为函数的拉普拉斯变换，称 为原函数，称 为象函数，并记为 .

    定理1[7]  线性非齐次线性微分方程的任意两个解之差是其对应齐次微分方程的解．

    非齐次线性微分方程的通解为对应于该方程的齐次线性微分方程的通解与该非齐次线性微分方程的特解之和．

    定理2　设齐次线性微分方程(2)有 个特征根．

若微分方程(2)有 重实根 ，则方程(2)通解中含有项

               　（ ；是任意常数）；

若微分方程(2)有一对 重复根 ，则方程(2)通解中含有项   

（ ； 是任意常数）．

定理3　微分算子具有如下基本性质：

1)   （取 次不定积分， 为任意正整数）；