摘　要：变上限积分函数是一类非常重要的函数，利用它可以证明微积分学中原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式．本文归纳证明了变上限积分函数的连续性、单调性、周期性等若干性质，探讨变上限积分函数及其性质在求函数的极限、解函数方程、证明根的存在性等问题当中的应用．66019

毕业论文关键词：变上限积分函数，性质，应用

Abstract: Integration function of variable upper limit is a kind of very important function, it can be used to prove the existence theorem of primitive function and Newton Leibniz formula of the calculus. we proves properties of continuity, monotonicity, periodic integral with variable upper limit function, to explore the variable upper limit integral function and its properties in the application, for the limit function solution of equation, the root of the problem of proof.

Keywords: integration function of variable upper limit, property, application

目　　录

1　引言4

2　变上限积分函数的定义4

3　变上限积分函数的性质4

4　变上限积分函数的应用7

4.1　确定函数的性质7

4.2　求函数的导数8

4.3　解函数方程8

4.4　证明根的存在性9

4.5　证明积分等式9

4.6　证明积分不等式10

4.7　证明积分第一中值定理10

4.8　求函数的极限11

结论12

参考文献13

致谢14

1  引言

在积分学中，为了证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进了变上限积分函数．变上限积分函数是积分学中一种形式特殊的函数，是导出微积分学基本公式的重要工具，它解决了在闭区间上连续函数的原函数存在问题，揭示了定积分与不定积分、微分与积分之间的内在联系．

变上限积分函数它具有与一般函数相似的一些初等性质以及一些独特的分析性质．数学分析教材中大多给出了变上限积分函数的可微性，但是对于变上限积分函数的其他性质没有进行讨论．本文阐述了变上限积分函数、变下限积分函数以及变上限积分复合函数的定义．归纳证明了变上限积分函数的有界性、连续性、可导性、奇偶性、周期性及单调性，并把它们应用到了讨论函数的性质、求函数的导数、解函数方程、证明根的存在性、证明积分等式、证明积分不等式、证明积分第一中值定理这几类问题中．

2  变上限积分函数的定义 

定义1　设函数 在区间 上可积，称   为区间 上的变上限积分函数．

定义2　设函数 在区间 上可积， ，称 为区间 上的变下限积分函数．

由于 ，所以变下限积分函数可以转化成变上限积分函数，故只须讨论变上限积分函数．

定义3　设函数 在区间 连续， ，称 为区间 上的变上限积分复合函数．

3  变上限积分函数的性质

性质1[1]（有界性）　设在区间 上函数 可积， 有界且 ，则函数 在 上也有界．特别地当 时，可得 在 也有界．

证明　因为 在 上可积，所以 在区间 上有界，即存在 对任意 ，恒有 ．

又因为函数 有界且 ，则

 ，

所以函数 在 上也有界．

性质2[2]（连续性）　设函数 在 上可积， 在 连续，那么函数 在 上连续．特别地当 时，可得 在 上也连续．

证明　任取 ，因为 在 上可积，所以 在 上必定有界，即存在 对任意的 ，恒有 ，即有

 ．

    又因为 在 连续，对于 ，当 时，都有 ，即 ．从而 ，所以 ．即 在点 处连续，由 的任意性可知， 在 上连续．