摘要本文简要地讲述了偏微分方程的发展以及理论研究现状，总结回顾了古典解的极值原理及相关的理论，并介绍了证明弱解的存在唯一性的能量方法，同时，引入了Fichera定理以及Fichera函数，对退化抛物型方程的定解问题边界上的给值进行说明。在文章的最后，利用相关的理论知识，对实际过程中得到的基于期权定价的金融偏微分方程进行了研究，主要讨论了一维欧式期权问题和二维欧式期权问题中的两组定解问题的解的存在唯一性。在实际问题中，利用Fichera定理判定了定解问题的解的存在唯一性；然后，通过变量代换和函数代换，结合Fourier变换对定解问题进行求解，得到一个显示解；再利用极值原理和最大值原理证明了解的唯一性。68009

毕业论文关键词  极值原理 能量方法 Fichera定理 存在唯一性

毕业设计说明书（论文）外文摘要

Title The research to the well-posed problem of the                financial partial differential equations

Abstract

This paper briefly tells the development of the partial differential equations and the present condition of the study. We reviewed the extremum principle of the classical solution and the related theory. Then we introduced the energy method for existence and uniqueness of the weak solutions and the Fichera theory which is used to discuss the boundary of the solution-determination problem to the degenerate parabolic equations. Finally, we consider the financial partial differential equations based on the option pricing and mainly discuss the existence and uniqueness of the solution to the one dimensional and two dimensional European style option problems. In practical issue, we judged the existence and uniqueness of the solution to the solution-determination problem through Fichera theory. After that, we take variable substitution and function substitution first, then solve the solution-determination problem using Fourier transform to get one explicit expressions. Afterwards, we verify the uniqueness of the solution by extremum principle and maximum principle. 

Keywords  extremum principle  energy method  Fichera theory  existence and uniqueness

目  次

1  绪论1

  1.1  偏微分方程的简介 1

  1.2  一类金融偏微分方程的简介 4

2  二阶线性抛物型方程的相关理论8

  2.1  二阶线性抛物型方程的定解问题8

  2.2  古典解的极值原理10

  2.3  Gronwall不等式13

  2.4  Poincaré不等式14

  2.5  能量方法与弱解的存在唯一性14

  2.6  退化抛物方程的Fichera定理16

3  一类期权定价的偏微分方程的解的存在唯一性19

  3.1  一维欧式期权定价问题19

  3.2  二维欧式期权定价问题27

结论35

致谢36

参考文献37

1  绪论

1.1  偏微分方程的简介

1.1.1  偏微分方程的发展简介

偏微分方程属于分析学的范畴，是在微积分出现后不久兴起的一门学科。回顾偏微分方程的研究，它起源于18世纪Euler，d’Alembert，Bernoulli，Lagrange和Laplace等人的工作，作为描述连续力学的核心工具，被用作分析物理科学中模型的主要方式。实际上，一维线性波动方程 是d’Alembert于1746年在模拟弦振动时建立的。1780年，Laplace在研究重力场理论时提出了他的方程 ，称为位势方程或Laplace方程。而热传导方程 是由Fourier于1807年研究热传导现象时建立的。这三个简单的方程导致了二阶偏微分方程的基本分类，即所谓的双曲、抛物和椭圆型偏微分方程，并且主要的线性偏微分方程的理论也是基于这三个基本方程的[2]。论文网