先看 的 阶矩,由密度函数式知 

作变量替换  

于是

其中 是 函数,   

上式说明了服从威布尔分布的随机变量 的七阶矩与 函数的直接关系,因此可以用 函数研究威布尔分布的性质。那么有

    

  

 =    

2.2.2极值分布

定义 若随机变量 的分布函数为

      

则称随机变量 服从极值分布,这里参数 常记 

作量替换     

则 的分布函数为

    

它是 ,  的极值分布,称为标准极值分布。

另外,若    来!自~优尔论-文|网www.youerw.com

这里 是欧拉常数。

2.2.3威布尔分布的定理

定理1 设 , 则 

证明  即 是指数分布(当 时威布尔分布是指数分布),因此对任何 有

注:定理1说明任何威布尔分布可以通过指数分布的变换得到。

定理2 设 是相互独立且同分布的,共同分布是 

对任何 有这说明 服从威布尔分布,形状参数是 ,刻度参数是 。

注:定理2是可靠性理论中的有名的夭折试验。

定理3 设 ,则 服从极值分布,其中参数

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