（2）某一列右乘一个矩阵 P ，即 PA B ；

（3）一列加上另一列的右乘 P （矩阵）的倍数，即 A

广义初等行变换和广义初等列变换统称为广义初等变换.

定义 2 由单位矩阵经过一次广义初等变换得到的矩阵叫做广义初等矩阵， 现在我们将某个单位矩阵进行如下分块：

根据以上我们所定义的广义初等变换，就可以得到如下类型的一些矩阵：

性质 1 广义初等矩阵都是可逆的，其中 A 可逆.如下所示

广义初等矩阵和广义初等变换的关系和初等矩阵与初等变换的关系一样，用 这些矩阵左（右）乘任一个分块矩阵

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：文献综述

同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果，在这里就不写出 来了.

性质 2 分块矩阵 A

左(右）乘一个广义初等矩阵，相当于对它进行了



一次相应的广义初等行（列）变换.

在 （ 3) 中 适 当 选 择 P  , 可 以 使

C PA  O

. 例 如 A 可 逆 时 ， 选

P CA1 ,则C PA O. 于是（3）右端成为

有了以上这些知识的探讨，下面我们将结合具体例子来研究一下分块矩阵在 解题中的具体应用.

3 分块矩阵的具体应用

3.1 关于求解行列式问题

利用分块矩阵求行列式是行列式求值的常用方法之一，但是在我们的教材中

利用分块矩阵求行列式值的都是一些要求比较严格的矩阵，形式也较为特殊.下 面是一个运用较为广泛的行列式求值方法.来.自>优:尔论`文/网www.youerw.com

定理12

若 n 阶方阵 P A

C

,其中 A 为 r 阶方阵，B 为 r n r矩阵，C

D

为 n rr 阶矩阵，D 为 n r 阶方阵，则有

（1）当 A 为可逆矩阵时， p A D CA1B

（2）当 D 为可逆矩阵时， P D A BD1C

如果我们求解行列式时候遇到类似问题，我们就可以运用这种方法，这样解 题将会变得简便许多.