2.1 在球面上进行大地主题解算

如图 2-1 所示，在球面上有两点P1和P2，其中P1点的大地纬度φ1，大地经度 λ1，P2点的大地纬度φ2，大地经度λ2；P1点和P2点间的大圆弧长为σ，P1P2的方位 角为α1，其反方位角为α2 ，球面上大地主题正算是已知φ1，α1，σ，要求φ2，α2 及经 差λ，反算问题是已知φ1，φ2及经差λ，要求σ，α1及α2 。

图 2-1 白塞尔大地主题解算

在球面上进行的大地主题正反算实质上是对极球面三角形PP1P2的解算，为 了解算极球面三角形，可以采用多种球面的三角函数公式。在这里应用正切函数

式，好处是反正切函数的精度可以保证。反三角函数在相关计算中应用很少，这 样易于计算机程序编写。

先列出如下极球面三角元素之间的基本公式：

sinσsinα1  = sinλcosφ2 (2-1)

sinσsinα2  = −sinλcosφ1 (2-2)

sinσcosα1  = cosφ1sinα2  − sinφ1cosφ2cosλ (2-3)

sinσcosα2  = sinφ1cosα2  − cosφ1sinφ2cosλ (2-4)

cosσ = sinφ1sinφ2  + cosφ1cosφ2cosλ (2-5)

cosφ2cosλ = cosφ1cosσ − sinφ1sinσcosα1 (2-6)

cosφ2cosα2  = sinφ1sinσ − cosφ1cosσcosα1 (2-7)

cosφ2sinα2  = −cosφ1sinα1 （2-8）

cosσ = sinφ1sinφ2  + cosφ1cosφ2cosλ (2-9)

(1)球面上大地主题正解方法

此时已知量：φ1，α1及σ；要求量：φ2，α2 及λ。 首先按（2-9）式计算sinφ2，继而用下式计算φ2：

tanφ   =      sin φ2

2 1−sin2 φ2

要确定经差λ，用（2-1）式除以（2-6）式，得

tanλ = sin σsin φ1 文献综述

cos φ1 cos σ−sin φ1 sin σcos α1

要求反方位角α2 ，用（2-8）式除以（2-7）式，得：

（2）球面上大地主题反解方法

此时已知量：φ1，φ2及λ；要求量：σ，α1及α2 。 为求正方位角α1，用（2-1）式除以（2-3）式得

p = sinλcosφ2，q = cosφ1sinφ2  −  sinφ1cosφ2cosλ

为求反方位角α2 ，用（2-2）式除以（2-4）式得

sin λcos φ1 

为求定球面距离σ，先将（2-1）式乘以sinα1，（2-3）式乘以cosα，再将它

们相加：将相加结果再除以（2-5）式，得

cosφ2sinλsinα1  +   cosφ1sinφ2  − sinφ1cosφ2cosC sinα1

sinφ1sinφ2 + cosφ1cosφ2 cosφ2 psinα1  + qcosα1

cosσ

2.2 椭球面和球面上坐标关系式

如图 2-2 所示，在椭球面极三角形PP1P2中， B，L，S，A分别表示大地线上 点的大地坐标，大地线长及大地方位角。在球面极三角形P′P1′P2′中，用φ，λ，σ及α