摘要不等式在实际应用中十分广泛，是值得不断探索的问题。由于不等式和函数有着密切的关联，这成为研究不等式的突破口。研究函数的一些性质可以帮助研究者探索不等式。函数的单调性、极值和凸性都是重要的性质。在数学研究中这些性质也是基本的内容。同时，这些性质是证明和发现不等式的有力工具。文章呈现了函数单调性、极值和凸性的定义和判定方法，并运用这些性质恰当地构造函数，以此证明和发现不等式。71159

Inequality is widely used in practical applications, is worth continuing to explore it. Inequality and functions are closely linked, which became a breakthrough in studying inequality. Exploring properties of functions can help researchers explore inequality. Monotonic function, extremes and convexity of functions are important properties, are also the basic content of mathematical research. At the same time, these properties are powerful tools to prove and discover inequality. This paper presents a monotonic function, extremes and convexity of definitions and determination methods. These properties and structure fuctions can help to prove and discover inequality.

毕业论文关键词：不等式；单调性；极值；凸性

目录

第一章 绪论 4

1.1不等式的重要性 4

1.2函数与不等式的联系 4

1.3目前的研究成果和空白 4

第二章 理论基础 5

2.1函数的单调性 5

2.2函数的极值 5

2.3函数的凸性 6

第三章 发现不等式 8

3.1从单调性发现不等式 8

3.2从用极值发现不等式 10

3.3从凸性发现不等式 13

第四章 结语 17

第一章 绪论

1.1不等式的重要性

不等式是学习数学的基础课程，在解决实际问题中有着不可替代的重要性。在实际应用中，合理提取有用信息，建立不等式模型帮助研究者解决不少难题。因此，不等式是数学中非常重要且值得探讨的问题。

如几何平均算术平均不等式在求一些迭代数列的极限、级数的收敛性、函数项级数的一致收敛性应用十分广泛；求条件极值和相关不等式的推导方面被大量广泛的使用。

1.2函数与不等式的联系文献综述

目前有很多方法可以证明不等式，多种方法的巧妙使用，甚至可以起到发现不等式的作用。而在这些方法大部分和函数息息相关。我们可以利用函数的凸性、单调性等性质证明一些不等式。构造适当的函数进行探讨，可以发现新的不等式，这为我们研究不等式提供了很到的思路。此外，数形结合的巧妙使用，用直观函数图像，借助函数的性质来研究不等式，这样的证明过程具有简洁、直观的特点。

而利用不等式讨论函数的定义域、值域，方程根的分布问题。这也为我们研究函数提供了一条便利的通道。

1.3目前的研究成果和空白

目前，已有许多学者利用函数的某一性质证明不等式。如，基本不等式的证明方法就有很多。比如通过构造辅助函数，把问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的性质来证明不等式。特别研究了凸函数的Jensen不等式在不等式证明中的应用，再利用其研究得到一些著名的不等式。