摘 要: 本文阐述了常微分方程的相关概念，并在常微分方程相关知识介绍的基础上，讨论某些常微分方程解的存在性和稳定性。

毕业论文关键词: 常微分方程，变量分离，存在性，稳定性  71175

Abstract：  This paper expounds the related concepts of ordinary differential equations, and discusses the existence and stability of solutions of some ordinary differential equations based on the introduction of the relevant knowledge of ordinary differential equations.

Keywords： ordinary differential equations, separation of variables, existence, stability 

目   录  

1 前言 3

2 一阶常微分方程 3

2.1一阶常微分方程的解的存在性 4

2.2一阶常微分方程的解的稳定性 6

3 高阶常微分方程 10

3.1 高阶常微分方程解的存在性 10

3.2 高阶常微分方程解的稳定性 12

4结论 16

参考文献 16

致谢 18

1 前言

常微分方程是个有近半个世纪发展经历的古老学科，它更是活跃在在数学的应用中。常微分方程是随着 一起发展起来的, 微积分可以说是它的母体,对常微分方程的研究也可分为以下几个阶段。在初期，数学家们对具体的常微分方程，希望可以用超越函数或初等函数来表示它的解,这个阶段属于“求通解”时代；后来莱布尼茨尝试利用变量转换来解决一阶微分方程的求解问题,另一位数学家欧拉则希望用积分因子来处理这个问题.不过求解热潮最终被刘维尔证明 中断，后来柯西提出了初值问题,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。在 以后,因为计算机技术有了进一步地发展,常微分方程从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,数学家们发现了特殊的具有新性质的解和方程,如混沌（解）、 及孤立子等.

此外，常微分方程与其他学科相结合，出现了新的分支,如控制论、种群分析、 、分支理论、 、脉冲微分方程等.

常微分方程是数学分析的一个分支,它正在随着时间不断进步,掌握常微分方程对学习数学有着非常重大的意义.这篇文章对几类非线性常微分方程的存在性和稳定性进行了一定的讨论,并且结合例题做了进一步分析.

2 一阶常微分方程

2.1一阶常微分方程的解的存在性

定义   凡是联系自变量 ，这个自变量的未知函数 ，及其直到 阶导数在内的函数方程

                                       （2.1）

叫做常微分方程，其中导数实际出现的最高阶数 叫做常微分方程的阶。

定义   设函数 在区间 ，且有直到  。如果把 及其相应的各阶导数代入（2.1），得到关于  ，即

对一切  ，则称 为微分方程（2.1）在区间 上的一个解。文献综述

定义3[3] (利普希兹条件)函数 称为在矩形域: 关于 y  满足利普希兹条件，如果存在常数 L>0 使得不等式 

对所有 都成立。L 称为利普希兹常数。

定理1[4]

 .

如果  在 上连续且关于 满足利普希兹条件, 则方程(2.2)存在唯一的连续解  定义在区间 ,且满足初始条件 这里 。