常常用它来打开局面,反证法证题的实质是通过矛盾转化而达到解决问题的目的.对于直 接论证较为困难的命题,采用反证法可以起到化繁为简、化难为易的作用.

矛盾律是传统逻辑规律之一,又被称为不矛盾律.一般被表述为 A 不是非 A ,或 A 不能 既是 B 又不是 B .在传统逻辑中,将矛盾当作事物的规律,即任一事物在同一时间内不能同

时既具有某属性又不具有某属性.矛盾律也适用于思维的规律,则是任一命题不能既真又 不真.即在同一思维过程中,对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断,即不能既肯定它, 又否定它 2.

排中律是传统逻辑基本规律之一.一般被表述为 A 是 B 或不是 B .在传统逻辑中,将排 中律当作事物的规律,即任一事物在同一时间里要么具有某属性要么不具有某属性,不存 在其他可能.排中律也适用于思维的规律,指的是一个命题要么是真的要么是假的,此外没 有其他可能.排中律规定,在分析面前 A 和非 A 必有一真 3.

4  适合反证法命题的条件

4.1 结论是否定性的命题

当命题的结论涉及“不能”,“不是”,“没有”等词语,命题的结论是否定形式出现的, 宜于用反证法,这样的命题的结论的反面往往是肯定形式,我们可以恰当地从反面进行思 考,通过肯定的结论推出命题不具备的某条性质,从而引发矛盾,通过反证法进行证明.

例 1 设 F 在区间a, b上可导,则导函数 f 无第一类间断点.

证法 1 假设 x0 为 f x的第一类间断点,则 f x

与 f x

存在极限,因为 F 在 x 处可

导,故 F 在 x0 处连续，根据导数极限定理,有 f x0   

f 在 x0 处连续,这与 x0 为 f x的间断点相矛盾.

证法 2 假设 x0 为 f x的第一类间断点,则 f x

与 f x

存在极限,且 f x  

不失一般性,设 f x 

,

这与 Darboux 定理（导函数介值定理）的结果相矛盾.

例 2 设 p  , q 都是奇数,试证明：方程 x2 px q 0 ,没有有理根.

证明 假设方程有有理根为 a ,其中 a, b 都是整数,且互质,则 ( a )2  p ( a ) q 0 .用

b b b文献综述

b 分别乘以方程两边并移项得： p a q b ( a )2 .因为等式左边是整数,所以 ( a )2 也是

b b

整数,但因为 a, b 互质,所以 b 1,从而 a2 p a q 0 ,即 a a pq ;因为 q 是奇数,所 以 a, a p 都是奇数,于是 a pa p 应为偶数（这与已知 p 为奇数相矛盾）,所以原方程

没有有理根.

4.2 结论是肯定性的命题

当命题的结论涉及“能”,“是”,“有”,“都”,“总是”等词语,这样的结论的命题 的反面往往是“不能”,“不是”,“不总是”这样的否定形式,当命题的结论是肯定形式 的,适合用反证法,而这些就适合反证法使证明过程变得简单.而结论是肯定性的命题我们 也可以通过改变结论使其变为结论是否定性的命题,如下面的例 3,我们就可以改为“证明

不是有理数”,这是相通的.

例 3 证明 证明 假设

是无理数. 不是无理数,则

是有理数.

设 p （ p 、 q 为互质的正整数）,两边平方得： 2 p  , p2 2q2 .