数学思想方法的研究，人们从未停止，但缺乏系统性和发展相对缓慢，尚未形成一个 独立的研究领域和完整的理论体系。

现在随着学科的重要的数学思想方法，数学基础轮深入发展的研究，特别是数学各分 支之间的内在关系，开始注意自己的形成、发展数学思维方法[3]。

数学思想方法是数学创造和发展的动力。几千年的数学发展史告诉我们数学思想方法 存在并活跃在整个数学发展的进程之中[4]。例如：古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公 理化方法，把大量的、零散的几何知识系统化，最后综合成欧式几何，是最早形成的演绎 体系；中国古代数学家刘徽提出“割圆术”，以解决长期存在的圆周率计算不准确的问题， 其中包含着极限思想方法的萌芽；笛卡尔采用了变量的思想方法来看几何曲线，引进了坐 标系，创立了代数方法研究几何问题的新数学分支——解析几何；牛顿、莱布尼茨提出无 穷小量方法，创立了微积分；高斯、罗巴切夫斯基等人运用了逆向与反常规思想、想象等 方法，创立了非欧几何理论，并解决了两千年来几十代数学家为之奋斗但未能解决的欧式 几何第五公设问题；伽罗瓦采用群论的思想方法彻底解决了五次及五次以上方程求根的问 题，并为现代抽象数学奠定了基础；康托尔提出了集合思想不仅解决了许多实际的数学问 题，而且为微积分的理论奠定稳固的基础，对数学基础的研究也产生了深刻影响；希尔伯 特重视思想方法的研究与应用，不仅成功地运用了公理化的思想方法把欧式几何完善化， 而且为多个数学领域的发展做出重要贡献，被称为“一代数学领袖和全才”[5] 。希尔伯特文献综述

在 1900 年巴黎国际数学家大会上做了题为《数学问题》的演讲，阐述了重大数学问题的

特点及其本身对数学发展的作用，并举出 23 个重大数学问题。人们普遍认为这个演讲本 身就是一篇数学思想方法的重要著作。

数学思想方法是培养数学能力与数学人才的需要。数学教育的根本目的就在于培养数 学能力。数学能力就是数学素质，即运用数学认识世界、解决实际问题和进行发明创造的 本领，这种能力不仅要求掌握数学知识，对一般理论有正确的理解，而且最重要地需要对 数学思想方法的掌握和运用。在培养数学研究人才的角度上说，学习与掌握数学思想方法 有利于深刻认识数学本质，掌握数学发展的规律。数学的知识可以记忆一时，而数学的思 想方法却永远发挥作用，可以终生受益，这就是数学的力量所在，数学学习的根本目的所 在[6]。

可以把数学思想按其深度分为三个层次： 第一层是处于中心的数学核心思想，把序 化思想与量化模式的构建列为核心思想，它是对数学研究对象的基本属性的本质认识和把 握，是数学思想系统中起统领作用的核心要素；第二层是一般数学思想，它是数学各个分 支所共有的，反映数学一般规律和特点的思想，它受到数学核心思想的支配，体现核心思 想在数学各个科学领域活动的共性，如：符号思想、分类思想、转换思想； 第三层是具 体的数学思想，是与若干个学科分支或某个学科分支特性和结构紧密结合的思想或思想方 法，如：集合思想、方程思想、逼近思想、随机思想、模式模型思想[7]。它们直接反应核 心思想在每个具体学科分支活动中的具体属性，是进一步理解和掌握各个数学分支的导引 和钥匙。

数学方法是在数学思想指导下的方法，按其主要功能分为数学发现、数学论证和数学 应用三个方面。数学发现、论证的基本方法有：归纳、类比等合情推理，以演绎法为主的 逻辑推理，一般化与特殊化的辩证方法，分析与综合的思想方法，以及转换思想的具体化。 这些方法一直以来被人们列为数学方法论的主要内容，研究数学中的发现、发明以及创造 性活动的规律和方法[8]。