摘要：积分中值定理在数学分析的学习过程占有很重要的地位，积分第一中值定理是积分 中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理.积分中值定理揭示了一种将积分化为 函数值，或者是将复杂函数化为简单函数的积分的方法.本文给出在求极限、估计积分值、 不等式等方面的应用.71452

毕业论文关键词：积分,第一中值定理,第二中值定理,应用

Abstract: Integral mean value theorem in the mathematical analysis oflearningprocess occupies a very important position, the first integral mean value theorem is one of the promotion of mean value theorem for integrals, in addition to the second integral mean value theorem. Mean value theorem for integrals reveals a will be integral values as a function of, or is the complex function is a simple function of the integral method, is presented in thispaper to calculate limit the application of integral value and inequality estimates.

Keywords: Integral ， the first integral mid-value theorem ， the second integral mid-value theorem，apply

目录

1 前言 4

2 积分中值定理及其应用 4

2.1 积分第一中值定理及其应用 4

2.2 推广的第一中值定理及其应用 5

2.3 积分第二中值定理及其应用 7

结论 12

参考文献 13

1.前言

随着时代的发展，数学也跟着时代的脚步大步前进.其中微积分的创立也极大 地推动了数学的发展.积分中值定理作为微积分中的一个重要的性质出现在数学 分析课程中，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的 学习也起着较大的作用.17 世纪数学最伟大的成就是微积分，它是继 Euclid 几何 之后全部数学中的一个最伟大的创造，其理论成熟，应用广泛.在一元微积分中， 积分中值定理包含积分第一中值定理和积分第二中值定理.它们是微积分中的基 本定理，在理论上有着一定重要地位，在一些逻辑推理方面也有重要作用.

2.积分中值定理及其证明

2.1 定理1.11（积分第一中值定理）

若 f 在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使得

证 由于 f 在a,b上连续，因此存在最大值 M 和最小值 m .由

使用积分不等式性质得到

f (x) M , x a,b，

m(b  a)  a

或f (x)dx M (b a),

m 1bf (x)dx  M ,

b a a

再由连续函数的介值性，至少存在一点a,b，使得

f ()  1bf (x)dx.

b a a

这就证得（1）式成立

(1) 积分第一中值定理的应用

例 1 试求 f (x) sin x 在0,上的平均值. 解 所求平均值为

2.2 定理1.21（推广的积分第一中值定理）

若 f 与 g 都在 a,b上连续，且 g(x) 在 a,b上不变号，则至少存在一点

a,b， 使得

a f (x)g(x)dx f ()ag(x)dx证 不妨设 g(x) 0, x a,b.这时有

mg (x) f (x)g(x) Mg(x), x a,b

其中 M , m 分别为 f 在a,b上的最大，最小值.由定积分的不等式性质，得到

b b b

mag(x)dx  a

f (x)g(x)dx  M ag(x)dx,