1。2 向量形式的线性方程组文献综述

对于线性方程组,如果令:

   

则线性方程组可以写成向量表达式: 其中  , 。

1。3 矩阵形式的线性方程组

    矩阵形式的方程组是引入矩阵

       ,        (2)

那么方程组 可以写成

                                               

矩阵 称为线性方程组 的系数矩阵, 称为未知量矩阵, 称为常数项矩阵 

           

称为线性方程组 的增广矩阵。

若 是方程组 的一个解,则 

称为方程组 的一个解向量,它就是方程组 的一个解。

2。 线性方程组的一般性质 

2。1 齐次线性方程组

2。1。1齐次线性方程组有非零解的条件

( I )  有非零解  的列向量组线性无关  。

(II)若方程的个数小于未知量的个数,则 必有非零解。

(III)当 时,即 为方阵时, 有非零解  。

2。1。2 齐次线性方程组解的性质

(I)若 均为 的解向量,则 也是 的解向量。

(II) 若 是 的解向量,则对任意的常数 也是 的解向量。

(III )  维向量 是 元齐次线性方程组 的解  与 的每一个行向量正交。

2。1。3齐次线性方程组解的结构

                (1)

 齐次线性方程(1)的一组解 称为(1)的一个基础解系,满足以下两条:

(I)方程组(1)的任一个解都能表示成 的线性组合。

(II) 线性无关。

    设 是 的一组线性无关的解向量,如果 的任一解向量均可由 线性表出,则称 为 的解空间的一个基,亦称是 的一个基础解系。此时 的解向量可表示为 ,其中 为任意常数, 表示系数矩阵的秩即 ,此式称为 的通解。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

2。2 非齐次线性方程组

2。2。1非齐次线性方程组的有解判定

 有解  可由 的列向量组线性表出 向量组 与 等价  。

更为准确的有: 有唯一解 

             有无穷解 

             无解 

2。2。2非齐次线性方程组解的性质

(I)若 是 的一个解, 是其导出组 的一个解,

则 是  的解。

(II)若 均是 的解,则 是其导出组 的解。

(III)设 是 的解,若 ,则 也是 的解。

2。2。3非齐次线性方程组解的结构

    若得一个解为 ,则 的任一解总可以表示为 ,其中 为其导出组 的解;又若 的通解为 ,则 的任一解总可以表示为: ,其中 为任意常数,故此式即是 的通解,  是导出组的一个基础解系。

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