摘要从古到今，极限思想经历了漫长曲折的发展过程，在极限思想不断完善的同时，微积分学得以建立并严密化。极限思想贯穿微积分学始终，微积分学中一系列重要概念，如连续、导数、积分等都是借助于极限定义的。微积分学与极限思想密不可分，极限思想就像一根线，将微积分学中像珍珠般的概念连接起来。结合极限定义，求极限的方法数不胜数，初学微积分者，认为极限概念不好掌握，求极限方法不易总结。为了让初学者感受数学知识的形成从而更好地掌握知识，本课题就极限思想方法的形成和发展、极限思想与方法在微积分中的作用与地位以及微积分中常用的求极限方法等方面进行阐述。72411

Since ancient times, limit ideology experienced a long and tortuous process of development, at the same time calculus was developed。  Limit ideology run through calculus, a series of important concepts in calculus such as continuous, derivatives, integrals, etc。 are defined by means of the limit。 Limit ideology like a line, which can connect the calculus concepts like pearls, which makes Calculus and limit ideology inseparable。 Combined definitions, methods of solve limit are numerous。 Beginners for Calculus think it is difficult to grasp concept of limit and summarize the method of solving limit。 In order to make beginners feel the formation of mathematical knowledge to grasp the aspects of the formation better ,this subject will elaborate from the development of limit , the function and status of in calculus and the means of solving limit。

毕业论文关键词： 极限思想；微积分；求极限方法

Keyword: Limit ideology; Calculus; the means of solving limit

引言微积分是高等数学的主要内容，而极限思想是微积分学的基本思想。微积分学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数、积分、级数的敛散性等都是借助于极限定义的。因此，对极限概念有充分的认识和研究对于微积分的学习具有重要意义。

极限思想的出现早于微积分学，早在公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯便创立了“穷竭法”来确定面积和体积。公元前3世纪，中国数学家刘徽将极限思想应用于实践，提出“割圆术”。1655年，英国数学家约翰•瓦利斯首次在《无穷量算术》中给出极限的概念。而后，牛顿和莱布尼兹也给出了极限的描述性定义。直到19世纪，柯西在前人的基础上，较完整地阐述了极限概念及其理论。

极限思想已是微积分学中必不可少的一部分，她是微积分学的理论基础。初学微积分者，认为极限概念不好掌握，求极限方法不易总结。理清极限思想的发展过程，认识极限思想在微积分学中的作用于地位，对解决求极限问题有很大帮助，甚至对解决数学史上一些重大问题也有启发。

一 极限思想方法的形成和发展

1 极限思想的萌芽

极限思想是社会发展的产物。最开始的极限观是朴素、直观的，对极限概念的描述最早始于我国古代，最著名的是《庄子·天下篇》中的一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”意思是：“一个一尺长的东西，今天拿走它的一半，明天再拿走剩下一半的一半，循环往复，这样永远都不会被拿完”，已经初步表现出对极限思想的看法。战国后期的《墨经》也有了对无穷的认识：“穷：或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”说的是“用尺来度量路程,如果量到前面只剩不到一尺的余地，那么这路程是‘有穷’的；如果继续量前面总是长于一尺，那么这路程是‘无穷’的”，体现了无穷大的思想。同时《墨经》也有对无穷小的描述，此时虽然已经有了极限思想的萌芽，但并没有应用到数学领域。直到公元3世纪，刘徽成功地将极限思想应用于实践，最著名的是利用“割圆术”求圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆和体，而无所失矣”。刘徽利用圆的内接六边形，先将六等分的弧对半分，得到圆的内接十二边形，此时的十二边形相较于六边形更靠近圆，面积也与圆更加接近；之后一直重复对分弧的过程，每分割一次圆的内接多边形的边数便加倍，一直重复下去，圆的内接正多边形的面积便越接近圆的面积，最终当正多边形的边数无穷多时两者达到相等。刘徽在不断“割”的过程中表现出无穷的极限思想，也是他首次将极限思想用于数学应用。