摘 要：本文根据矩阵的初等变换的相关性质，归纳总结了矩阵的初等变换在解线性方程组、判断向量组的线性相关性、解矩阵方程、化二次型为标准形以及求多项式的最大公因式这五个方面的应用。72556

毕业论文关键词：矩阵，初等变换,方程组，线性相关，标准形

Abstract: In this paper, based on the correlation property of elementary transformation of matrix, the applications of elementary transformation of matrix in the solution of linear equations, the judgment of linear correlation of vector group, solving the matrix equation, changing quadratic form as the standard form and solving the polynomial greatest common factor are summarized。

Keywords: matrix, elementary transformation, equations, linear correlation, standard

目 录

1 引言 4

2 利用矩阵初等变换解线性方程组 4

3 利用矩阵初等变换判断向量组的线性相关 6

4 利用矩阵初等变换解矩阵方程 8

5 利用矩阵初等变换化二次型为标准形 9

6 利用矩阵初等变换求多项式的最大公因式 11

结  论 13

参 考 文 献 14

1 引言

设

 ，

为数域 上的一个 矩阵，则数域 上矩阵的初等行(列)变换是指：

（1）以 中一个非零数 乘矩阵的某一行（列）；

（2）把矩阵的某一行（列）的 倍,加到另一行（列），这里 是 中任意一个数；

（3）交换矩阵中两行（列）的位置。论文网

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。习惯地，我们常使用以下记号来表示矩阵的初等变换：

（1）非零常数 乘矩阵的第 行(第 列)，记作 （ ）；

（2）矩阵的第 行(列)加上第 行(列)的 倍，记作 （ ）；

（3）交换矩阵的第 行(列)与第 行(列),记作 （ ）。

本文总结了矩阵的初等变换在解线性方程组、判断向量组的线性相关、解矩阵方程、化二次型为标准型以及求多项式的最大公因式上的若干应用。

2 利用矩阵初等变换解线性方程组

所谓线性方程组是指形为

                                                       （1）

的方程组。 其中，当 =0时，称（1）为齐次线性方程组；当 不全为零时，称（1）为非齐次线性方程组。一般地，记 ， ，

 ，则齐次线性方程组可写成矩阵形式 ，非齐次线性方程组可写成矩阵形式 。

定理2。1[1] 设 ， 元齐次线性方程组 ，则方程组

（1）有非零解的充分必要条件是 ；

（2）只有零解的充分必要条件是 。

定理2。2[1] 设 ， 元非其次线性方程组 ,则方程组

（1）无解的充分必要条件是 ；

（2）有惟一解的充分必要条件是 ；

（3）有无限多解的充分必要条件是 。

因此，利用定理可以判断线性方程组解的存在状况：

（1）先求出线性方程组的系数矩阵的秩 与增广矩阵的秩 ；

（2）比较 与 的大小。当 时，方程组无解；当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解。