摘要:虫口变化抛物线模型，是1976年数学生态学家R。May在英国《自然》杂志上发表的一篇后来影响甚广的综述中所提出的，它是研究动力学说、混顿、分形等复杂系统行为的一个经典模型．本文首先介绍虫口变化的数学模型，然后借助于数值仿真讨论其相应的动力学行为及其机理．72629

毕业论文关键词:虫口模型；非线性方程；Logistic映射；混沌

Abstract：LogisticmodelwasproposedbyecologistR。MayinareviewoftheNaturejournal，whichhadinfluencedwidelyafterwards．Itisaclassicmodelindynamicalsystemstheory，

chaostheory，fractaltheoryandotherbehaviorofcomplexsystems．Inthispaper，weintroducethelogisticmodelanddiscussthecorrespondingbehaviorofdynamicalsystembytheaidofnumericalsimulation．

Keywords:Logisticmodel；nonlinearequation；Logisticmap；Chaos

目录

1。引言 4

2。预备知识 4

2。1离散映射系统动力学行为 4

2。2离散系统平衡态的稳定性 6

3。虫口模型的动力学行为 7

结论 10

参考文献 11

1。 引言

我们来探讨一个简单的生态学问题：构造一种昆虫数目（即“虫口”）变化的数学模型．假定有一种昆虫，每年夏季成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一只

虫子．设第n年的虫口数目为xn，每只成虫平均产卵a个．这样的过程年复一年地重复下去，一般规律可以写成

xn1=axn,

（1。1）

这是一个线性差分方程．求解线性常微分方程时，可以用一般解x=t代入；这里可试用

x=n[1]．容易求得

xn=x0a,

（1。2）

其中x0是起始年度的虫口数目．我们看到，只要a＞1，即每只虫子每年平均产卵数多于1个，虫口数目就会按指数上升．用不了许多年，整个地球就要“虫满为患”[2]．相反，

如果a＜1，则这种昆虫就会在若干年内灭绝，成为物竞天择的失败者．当然，这是一个过分简化的模型，我们称之为虫口模型．然而，马尔萨斯的人口论[3]

也是基于这样的模型．为了把这个模型修正得更符合实际一些，让我们想一下走向“虫满为患”的过程中，会发生什么事情：

第一，食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而咬斗．第二，虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延[4]．这里还完全没有考虑虫口增加有利于天敌繁殖的多种物种竞争问题[5]．咬斗和接触，

都是发生在两只虫子之间的事件．我们知道，xn只虫子配对的事件总数2xnxn1[6]．当

x远大于1时，这基本上是x2．上面的两类事件都造成减员，即对下一代虫口数做出负贡献．因此，修正后的虫口方程是:

xn1xn1xn,

（1。3）

这是一个非线性的差分方程[7]．方程（1。3）并不只是一个描述虫口变化的模型，它同时考虑了鼓励和抑制因素，反映出“过犹不及的效应，因而具有更普遍的意义和用途．

2。 预备知识

2。1离散映射系统动力学行为

考虑一般形式的线段I到自身的映射：

其中f是一个非线性函数，代表一个或多个参量，并且要求xn和xn1都属于线段I．在固定参量之后，取一个初值x，代入上式右面，算出x;再把x作为新的变量，计算