  

2

 

故 F 0F1 f 0f 1 

0 ,

2   2 

由零点定理, x

0, 1 , 使F x

0

即 f x

 1 

f x  

0  2  0

 2 。

例 2 证明：当 x 1 时， x ln x 。

（分析：构造辅助函数 f xx ln x ，若证得 f x0 ，则不等式成立）

解 令 f xx ln x ，则

f ' x11 x 1 0 ,

x x

因此 f x单调递增。

又 f 11 , 所以当 x 1 时 , 例 3 求数列nn中的最大项。

f xf 11 0 ,即 x ln x 得证。

（分析：构造函数解决数列问题,利用函数的导数和单调性,但要区别函数和数

列,数列只有整数项） 解 令

1

f xx x

Inx

e x ,

则

1 1ln x 

f ' xx x  ,

 x2 

令f ' x0，解得x e唯一的稳定点 从而

f xmaxf e ,

又 2 e 3 ，在数列中  , 故数列最大项为 。

2。2 极限思想

用极限概念和极限理论求解问题的一种数学思想就是极限思想 3。比如求瞬 时速度、曲线的渐近线、曲面弧长等问题,都需要极限的思想去解决问题。

例 4 已知直线运动方程为 s 10t 5t 2 ,从 t=4 到 t=4+ t 这段时间内,求 t=4 时 的瞬时速度。

（分析：若质点在某时间段t0 , t上的平均速度的极限存在,即为瞬时速度） 解 由题意有,

V4

lim s

t 0 t

S4 t S4

lim

t 0 t

lim 50t 5t

t 0 t

lim50 5t 

t 0

50

例 5 求曲线 f x3x4 的渐近线。

x22x

（分析：曲线的渐近线分为垂直渐近线和斜渐近线,其中斜渐近线中 limf xk

limf xkxb ,则斜渐近线为 y kx b ）

x

x x

解 因

k lim

 f x

lim

3x3 4