摘要在高等代数中矩阵是研究许多问题重要的工具手段，对称矩阵及其二次型在研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，本文综述介绍了对称矩阵和二次型的定义和性质，并给出了相关的例题和证明。73029

matrix is an effective tool to solve some problems In the advanced algebra。 Symmetric matrix and its quadratic form is extremely important in theoretical physics and mechanics, environmental engineering and science。The paper studies the definition and properties of symmetric matrix and its quadratic form, and relevant examples are given and proved。 

毕业论文关键词：对称矩阵； 反对称矩阵； 实次对称矩阵； 二次型；定义和性质；对称矩阵的美

Keyword: symmetric matrices; antisymmetric matrix; real symmetric matrices;  quadratic form;  the definition and properties;  the beauty of symmetric matrices

目    录

引言 5

一、对称矩阵的定义、相关性质和内外美 5

1。1、对称矩阵的定义 5

1。2、对称矩阵的性质 5

二、实次对称矩阵的主要性质 7

2。1、实对称矩阵的相关定义 7

2。2、实对称矩阵的相关定理 8

2。3对称矩阵的美 9

三、二次型的定义和相关定理 11

3。1、二次型的概念和定义 11

3。2二次型性质在不等式证明中的应用 12

3。3根据二次型的性质来判断二次曲线的形状 14

3。4二次型性质在求平面图形面积的应用 15

3。5、二次型的正交变换 16

引言

对称矩阵及其二次型在高等代数学中有着无可厚非的地位，在当今社会的环境学、生物学、物理学、微生物学等等中都要它的基础存在，所以研究对称矩阵及其二次型是件非常有意义的事情，本文一方面是综述了对称矩阵的定义、相关性质和它的内外美，另一方面是介绍了二次型的定义，性质和一些具体应用。

一、对称矩阵的定义、相关性质和内外美

1。1、对称矩阵的定义

设 是 阶方阵，假如满足 ，相当于 ,那么就称 为对称矩阵，也简称为对称阵。

1。2、对称矩阵的性质

性质1：设 是 阶对称矩阵，则 是对称矩阵。

证明： ，根据对称矩阵的定义得证。

性质2：设 是 阶方阵，那么 ， , 是对称矩阵，因此 也是对称矩阵。

证明：因为 ,所以 是对称矩阵。

      因为 ,所以 是对称矩阵。

      而  。

性质3：设 是 阶对称矩阵，如果 可逆，那么 就是对称矩阵，进而 也是对称矩阵。[1]

证明： 可逆，  得到 是对称矩阵。而 ，因此 。 。

性质4：实对称阵的特征值是实数。文献综述

性质5：设实对称矩阵 的两个特征值为 ，对应的特征向量是 。若 ，则 与 正交。

证明： ， ，

 。  ,

因此 ，相当于 ，但是 ，所以 ，即 与 正交。

性质6：设实对称矩阵 的 个特征值是 ，对应的特征向量是 ，若 ，则 两两正交。[5]

性质7：设 阶实对称矩阵为 ， 的特征方程的 重根是 ，则矩阵 的秩是 ，从而对应于特征值 恰有 个线性无关的特征向量。