3。1雅可比迭代法的应用 21

3。2 高斯—塞德尔迭代法的应用 22

3。3 SOR迭代法的应用 26

3。4 几种迭代法的计算机语言应用 27

3。4。1雅克比迭代的计算机应用 27

3。4。2 高斯—赛德尔迭代法的计算机应用 28

3。4。3 逐次超松弛迭代法（SOR） 29

3。4。4 对称超松弛迭代法 30

参考文献 32

致谢 34

附录 35

第一章 引言

1。1 研究背景

随着科学技术的发展，数值计算在科学研究和工程技术中都起到很重要的作用，对于数值分析中的各种迭代法的研究则显得日益重要。迭代法越来越用于线性方程组的数值解法，许多线性问题最后都归结为解线性方程组，线性问题目前已成为数学研究的一个重要课题，而线性方程组的解法是最基本的，在各个领域中都占有很重要的地位。论文网在科技、工程中都经常要用到非线性方程组求解，线性方程组的解法主要有数值解法，数值解法是用得最普遍的方法，而数值解法中最常用的是迭代法，所以迭代法解线性方程组有着很重要的实际应用背景。因此，研究各种数值迭代法有着很重要的意义。

1。2 研究现状

线性方程组的求解包括直接法和迭代法。直接法的研究主要集中在上世纪六、七十年代，它通过对方程组的系数矩阵进行变换(如Gauss消元、LU分解等)，将原线性方程组化为三角或三对角等容易求解的形式，然后通过回代或追赶等方法得到原方程组的解。这种方法在不计舍入误差的情况下能得到准确解，但当系数矩阵的条件数很大时，舍入误差的影响常常导致求出的解与准确解相去甚远，而且直接法一般内存要求很大，计算时间较长，所以虽然近年来还有关于直接法的少量研究(见文献[1]-[4])，但对大型线性方程组的求解，人们更多的借助于迭代法。迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的过程，可以在较短的时间内得到较高精度的解，从而有效地提高求解的速度。迭代法可以充分利用和保持系数矩阵的稀疏性，节省内存开销，它还具有易于进行并行处理、组织并行计算的优点，近年来一直是比较活跃的研究课题(见文献[5]-[16])。迭代法的种类很多，可以分为定常迭代法和非定常迭代法，其收敛性和收敛速度是解方程组的关键，不收敛的迭代格式自然不能用，而收敛很慢的格式不仅需要较长的计算时间，而且还不一定能得到满意的结果，因此必须对其进行改造或寻求收敛较快的格式。经典的定常迭代法包括Jacobi迭代法，Gauss-seidel迭代法，SOR迭代法和AOR迭代法等以及它们各自相应的对称型迭代法等(见文献[5，14，16])。 

1。3 本文主要研究内容

本文研究的主要内容就是对雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR迭代法以及分块迭代法和共轭梯度迭代法的研究推导，共分为三章来讲诉。

第一章，先给出了本文研究的背景、国内外的研究现状。

第二章，给出了几种基本的迭代法，说明其对应的原理，并推导出相应的收敛公式。分为6个小结来介绍，第1节到第5节分别介绍推导雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR迭代法以及分块迭代法和共轭梯度迭代法的收敛公式。第6节对本章内容做一个小结。